ЗАМЕЧАНИЕ Произведение двух линейных операторов является линейным
Определение Пусть - базис в , а - базис в . Пусть и . Тогда матрица коэффициентов называется матрицей оператора в базисах .
ТЕОРЕМА 1) Матрицалинейной комбинации операторов совпадает с линейной комбинацией матриц этих операторов.
2) Матрица произведения двух линейных операторов совпадает с произведением матриц этих операторов.
_____
Определение Множество называется подпространством векторного пространства , если .
ЗАМЕЧАНИЕ Подпространство удовлетворяет аксиомам 1)-8) и потому само является векторным пространством.
ЗАМЕЧАНИЕ 1) Линейная оболочка является наименьшим векторным подпространством, содержащим .
2) Базисом в является максимальная совокупность линейно независимых элементов среди .
Определение Ядром линейного оператора называется множество
Образом линейного оператора называется множество .
ЗАМЕЧАНИЕ Ядро и образ оператора являются подпространствами
соответственно в .
Определение Уравнение вида , где - искомый, а - известный элемент, называется неоднородным (однородным) линейным операторным уравнением.
|
|
Определение Элемент называется решением такого уравнения, если при его подстановке вместо , уравнение обращается в равенство.
Определение Решить уравнение это значит, найти все его решения.
Следующее понятие используется при исследовании разрешимости операторных уравнений.
Определение Рангом линейного оператора называется размерность образа этого оператора.
ТЕОРЕМА Пусть .
1) Разрешимость операторного уравнения при выделенных базисах равносильна разрешимости СЛАУ , где
.
2) Ранг линейного оператора совпадает с рангом матрицы этого оператора.
3) . 4) Если - базис в ядре , то произвольное (общее) решение однородного операторного уравнения имеет вид:
, где .
5) Если - какое-либо частное решение неоднородного операторного уравнения , то произвольное (общее) решение этого уравнения имеет вид .
_____
Определение Линейные операторы называется соответственно правым и левым обратным к линейному оператору , если
.
Определение Линейный оператор называется обратимым, если существуют и правый и левый обратные к нему.
ЗАМЕЧАНИЕ Для обратимого оператора как и в случае матриц доказывается, что . Поэтому можно говорить об обратном к операторе .
Определение Линейный оператор называется взаимно однозначным (мономорфизмом), если он преобразует разные элементы в разные: .
ЗАМЕЧАНИЕ является мономорфизмом тогда и только тогда, когда
однородное уравнение имеет единственное (то есть нулевое) решение.
Определение Линейное отображение называется отображением "на" (эпиморфизмом), если , то есть операторное уравнение имеет решение в для каждой правой части .
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ Линейное отображение является изоморфизмом (в соответствии с определением) тогда и только тогда, когда оно является мономорфизмом и эпиморфизмом.