Нелинейные реактивные элементы

Рис. 2.3

Рис. 2.1

Приложим к двухполюснику постоянное напряжение . Ток через него равен . Отношение

(2.3)

называется сопротивлением элемента постоянному току. В отличие от сопротивления линейного резистора значение зависит от .

Приложим к двухполюснику напряжение , где - периодически изменяющееся напряжение с нулевым средним, например, - гармоническое, с малой амплитудой колебаний , . Аппроксимируем ВАХ (2.2) в окрестности рабочей точки в линейном приближении: . Сопротивление элемента переменному току с малой амплитудой колебаний в окрестности рабочей точки , измеряется дифференциальным сопротивлением

(2.4)

Оба сопротивления и могут быть как положительными, так и отрицательными или нулевыми. Случай () соответствует элементу, потребляющему мощность постоянного тока (источнику энергии постоянного тока). Действительно, в соответствии с законом Джоуля-Ленца . Например, внутреннему сопротивлению источника постоянного тока отрицательно, если считать электрическую мощность, вырабатываемую источником, отрицательной. Электрическая мощность, потребляемая резистором в цепи, напротив, будет положительна. Теперь возьмем цепь переменного, например, - гармонического тока. Пусть и - комплексные амплитуды падения напряжения и тока на резистивном сопротивлении. Средняя за период колебаний электрическая мощность на сопротивлении . На участке цепи с резистивным сопротивлением, где электрическая мощность потребляется (генерируется), напряжение и ток колеблются синфазно (противофазно). Поэтому участок цепи, где дифференциальное сопротивление является потребителем электрической энергии, а участок, где - источником той же энергии.

ВАХ линейного резистивного элемента , где - постоянное сопротивление. Для линейного элемента .

Проводимость нелинейного элемента для постоянного тока . Дифференциальная проводимость того же элемента равна крутизне ВАХ в рабочей точке: .

Для расчета многих схем, находящихся под действием гармонических колебаний большой амплитуды, используют средние по первой гармонике параметры (среднюю крутизну , среднюю проводимость , среднюю емкость и т.д.). Они определяются отношением амплитуд первых гармоник. Эти параметры связывают друг с другом амплитуды первых гармоник тока и напряжения на соответствующих участках цепи.

Пример. Рассмотрим резонансный усилитель на ламповом триоде (см. рис. 2.2). Пусть на сетку лампы подано гармоническое напряжение большой амплитуды . Лампа работает в нелинейном режиме из-за большой амплитуды входного сигнала. Поэтому ток через лампу не является гармоническим. Считаем, что параллельный колебательный контур, служащий нагрузкой усилителя, настроен на частоту входного сигнала. Так как контур высокодобротный, то амплитуда колебаний напряжения на контуре практически полностью определяется амплитудой колебаний его первой гармоники частоты . Поэтому коэффициент усиления усилителя можно оценить как . Если - эквивалентное сопротивление настроенного контура, то , где - амплитуда первой гармоники тока в анодной цепи лампы. Введем среднюю крутизну анодно-сеточной характеристики лампы как отношение амплитуды первой гармоники анодного тока к амплитуде напряжения на сетке: . Тогда . Из построений следует, что средняя крутизна зависит от амплитуды напряжения . Действительно, изменение вызывает непропорциональное изменение в нелинейном элементе – лампе.

Рис. 2.2

Нелинейные двухполюсники характеризуются средней проводимостью – отношением амплитуды первой гармоники тока к амплитуде первой гармоники напряжения на нем: , или обратной к ней величиной – средним сопротивлением . Для нелинейных элементов эти величины зависят от .

Рассмотрим способы описания характеристик нелинейных элементов. Большинство характеристик получают экспериментально, реже – теоретически. Табличное представление особенно удобно для анализа процессов в цепях с помощью ЭВМ. Аргумент и функция образуют двумерный массив в памяти ЭВМ. Чем больше размерность массива и выше точность данных, тем точнее результаты анализа, но сложнее алгоритм и больше временные затраты. Аналитическое представление ВАХ требует подбора аппроксимирующей функции, относительно простой по форме, но отражающей главные свойства ВАХ. В радиотехнике часто используют следующие способы аппроксимации ВАХ нелинейных двухполюсников.

Кусочно-линейная аппроксимация основана на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами.

Пример. На рис. 2.3 показана входная характеристика транзистора КТ306, аппроксимированная двумя отрезками прямых линий.

Аппроксимация определяется двумя параметрами – напряжением начала и крутизной . Аналитически аппроксимация выражается как

(2.5)

Степенная аппроксимация основана на разложении нелинейной ВАХ в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки . При разумных вычислительных затратах разложение ограничивают несколькими первыми членами:

(2.6)

что ограничивает применимость (2.6) лишь некоторой окрестностью рабочей точки. Коэффициенты , разложения (2.6) находят из решения системы линейных уравнений ():

(2.7)

где - координаты точки с номером , выбранной в окрестности рабочей точки на аппроксимируемой ВАХ.

Степенную аппроксимацию используют при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия.

Показательная аппроксимация основана на использовании показательной функции.

Пример. Из теории работы переходов следует, что ВАХ полупроводникового диода в области описывается выражением

(2.8)

где - обратный ток насыщения, значение которого обычно мало и составляет несколько пА, - температурный потенциал, мВ для кремниевых приборов при температуре К.

Показательную зависимость (2.8) часто используют при изучении нелинейных явлений в цепях с полупроводниковыми приборами. Аппроксимация (2.8) вполне точна при токах, не превышающих несколько мА. При больших токах характеристика (2.8) плавно переходит в линейную зависимость из-за влияния объемного сопротивления полупроводникового материала.

Напряжение и ток линейной индуктивности связаны как , а линейной емкости – как , где и - постоянная индуктивность и емкость, соответственно. В каждый момент времени производные и зависят не только от значений и в тот же момент времени, но и от их значений в предшествующие моменты времени. Значит, реактивные элементы являются инерционными. Нелинейными индуктивностями являются катушки индуктивности с ферромагнитными сердечниками. Такой элемент характеризуют статической индуктивностью

(2.9)

где - магнитный поток в катушке, - сила тока в ее проводе, или дифференциальной индуктивностью

(2.10)

Напряжение на нелинейной индуктивности можно выразить как через , так и через :

(2.11)

(2.12)

Так как и (и - напряженность и индукция магнитного поля в катушке), то ампервеберная характеристика отличается от характеристики намагничивания только масштабами. На рис. 2.4, а показаны кривые намагничивания. Пунктирная линия, проходящая через их вершины, называется основной кривой намагничивания. На основе ее рассчитаны зависимости и от тока , показанные на рис. 2.4, б.