Закон больших чисел.
Теорема. Пусть – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (i.i.d.r.v.) с , , и . Тогда
т.е.
Доказательство. Пусть
Тогда фиксированного
и
следовательно,
таким образом,
и, следовательно,
Теорема доказана.
Теорема. Пусть – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (i.i.d.r.v.), невырожденных с , и . Тогда при
Доказательство. Пусть , и ,
При фиксированном и
но – характеристическая функция , так как
Теорема доказана.
Для вектора характеристическая функция
Теорема. Компоненты вектора независимы тогда и только тогда, когда характеристическая функция вектора равна произведению характеристических функций его компонент.
Доказательство. Необходимость очевидна.
Докажем достаточность.
Пусть .
Следовательно, . Теорема доказана.
Для гауссовского вектора с плотностью
и некоррелированность компонент эквивалентна их независимости.
|
|
6. Условные математические ожидания
Условная вероятность относительно конечного разбиения
Условная вероятность простой случайной величины
где
Данная формула, очевидно, обобщается на случай произвольной интегрируемой случайной величины.
Предложение. Для случайной величины с – оптимальная в среднеквадратическом смысле проекция на т.е., если – оценка , то
Доказательство. Для произвольной функции
Тогда
Так как это точка экстремума, то
Следовательно,
следовательно,
Построим для -алгебры (пример ) .
Обобщая
с
на случай (когда нельзя говорить об ) введем
Определение. Условным математическим ожиданием случайной величины относительно называется случайная величина такая, что
1) (т.е. -измерима)
2) .