Общее уравнение прямой

Раскрыв скобки в уравнении (2.3) и обозначив число через С, приведем уравнение (2.3) к виду

. (2.4)

Таким образом, каждую прямую на плоскости можно описать уравнением первой степени с переменными х и у. При этом хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от нуля (т.к. А и В – координаты нормального вектора прямой).

Докажем обратное утверждение: если дано уравнение вида (2.4), где хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от нуля, то линия, определяемая этим уравнением, – прямая.

Пусть В¹0. Тогда уравнение (2.4) можно записать в виде

.

Как было получено выше, это уравнение определяет прямую, проходящую через точку М₀ с координатами и перпендикулярную вектору n с координатами (А, В). Если В=0, то А¹0, и рассуждения аналогичны.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. В декартовой прямоугольной системе координат на плоскости:

1) каждая прямая задается уравнением первой степени , где хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от нуля;

2) каждое уравнение вида , где хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от нуля, определяет прямую линию.

Уравнение при условии, что хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от нуля, называется общим уравнением прямой на плоскости. При этом важно помнить, что коэффициенты А и В в уравнении являются координатами нормального вектора этой прямой.

Запишем уравнение прямой , проходящей через точку М₀(х₀,у₀) параллельно ненулевому вектору a = (p,q).

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой. Вектор a = (p,q), , – направляющий вектор прямой .

Возможны следующие случаи:

1) p = 0, q ¹ 0. Тогда вектор a параллелен оси Оу: a = 0× i + q × j = q × j, значит прямая параллельна оси Оу и уравнение прямой имеет вид (см. пример 2 на стр.37).

2) q = 0, p ¹ 0. Тогда вектор a параллелен оси Ох: a = p × i + 0× j = p × i значит прямая параллельна оси Оx и уравнение прямой имеет вид (см. пример 2 на стр.37).

3) p ¹ 0, q ¹ 0. Точка М(х,у) принадлежит прямой тогда и только тогда, когда векторы и a коллинеарны, а значит тогда и только тогда, когда существует k (k¹0): = k a, или

. (2.5)

Уравнение (2.5) является уравнением прямой, проходящей через точку М₀(х ₀, у ₀) параллельно вектору a = (p, q) (p ¹ 0, q ¹ 0). Для каждой прямой существует бесчисленное множество направляющих векторов, причем все они коллинеарны друг другу (докажите самостоятельно).

Запишем уравнение прямой , проходящей через две данные точки М₁(х ₁, у ₁) и М₂(х ₂, у ₂). Пусть сначала и . В этом случае за направляющий вектор прямой можно принять вектор , координаты которого равны соответственно и . Подставив в (2.5) координаты направляющего вектора получим уравнение прямой, проходящей через точку М₁(х ₁, у ₁) параллельно вектору

. (2.6)

Итак, уравнение (2.6) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(х ₁, у ₁) и М₂(х ₂, у ₂), где и . В случае прямая параллельна оси Оу и ее уравнение имеет вид ; в случае прямая параллельна оси Ох и ее уравнение: .

Пример. Написать уравнение средней линии треугольника АВС, параллельной стороне АВ, если А(1,3), В(–1,1), С(3,–5).

○ Пусть точка М – середина стороны АС. Тогда прямая, содержащая среднюю линию треугольника АВС, параллельную стороне АВ, это прямая , проходящая через точку М параллельно прямой, содержащей сторону АВ. Значит, вектор можем взять в качестве направляющего вектора прямой . Найдем координаты вектора : . Найдем координаты точки М. Так как точка М– середина стороны АС, то 2= , или

Откуда имеем . Теперь, воспользовавшись уравнением (2.5), можем написать искомое уравнение: , или . ●