Градиент

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в том или ином направлении. Однако возникает вопрос: в каком направлении эта скорость будет наибольшей?

Рассмотрим снова формулу для производной по направлению. Это выражение можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: единичного вектора

,

определяющего направление, по которому берётся производная, и вектора,

, (1.4)

называемого градиентом скалярного поля U. Следовательно,

. (1.5)

Данную формулу, вспомнив определение скалярного произведения, можно записать в виде:

,

т.к. . Если |grad U |¹0, то данное выражение имеет наибольшее значение, когда cosj=1, т.е. если j=0. Это означает, что производная по направлению l в данной точке имеет наибольшее значение, если направление вектора l совпадает с направлением градиента U это значение равно | grad U|. Другими словами, направление градиента есть направление наибольшего возрастания функции. Производная по направлению, которое ортогонально к вектору grad U, равна нулю.

Градиент скалярного поля U(x,y,z) в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности уровня, проходящей через эту точку. Для двухмерных полей, направление градиента ортогонально к линиям уровня.

В приложениях понятие градиента используется очень широко. Например, поток теплоты в неравномерно нагретом теле обозначают –grad T, для связи электрического потенциала и напряжённости электрического поля записывается в виде и т.д.

Пример 1.4. Найти направление и величину наибольшего возрастания функции U = y ²+ x в точке M (1;1).

Решение. Поскольку

, ,

то . Тогда величина наибольшего возрастания функции будет равна

,

а направление этого наибольшего возрастания будет определяться направляющими косинусами:

, .