Начальные и граничные условия

Продуктивный пласт или выделенную из него часть можно рассматривать как некоторую область пространства, ограниченную поверхностями-границами. Границы могут быть непроницаемыми для флюидов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхностью является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания (с дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины служит внутренней границей пласта.

Чтобы получить решение системы уравнений, к ним необходимо добавить начальные и граничные условия.

Начальное условие заключается в задании искомой функции во всей области в некоторый момент времени, принимаемый за начальный. Например, если искомой функцией является пластовое давление, то начальное условие может иметь вид

(2.36)

т.е. в начальный момент задается распределение давления во всём пласте.

Если в начальный момент пласт невозмущен, то начальное условие примет вид /без учета силы тяжести/

(2.37)

Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Возможны следующие граничные условия.

I. На внешней границе Г:

1) постоянное давление (2.38)

т.е. граница является контуром питания;

2) постоянный переток через границу при выполнении закона Дарси где n - нормаль к границе Г.

Откуда следует, что (2.39)

3) переменный переток через границу (2.40)

4) замкнутая внешняя граница (2.41)

5) бесконечный по простиранию пласт при прямолинейно-параллельной фильтрации

(2.42)

II. На внутренней границе (при плоскорадиальной фильтрации):

6) постоянное давление на забое скважины радиусом r_e

при r = r_e (2.43)

7) переменное давление на забое скважины радиусом r_e

при r = r_e (2.44)

8) постоянный дебит при выполнении закона Дарси

при r = r_e (2.45)

Или при r = r_e (2.36)

где - площадь боковой поверхности скважины; h – толщина пласта;

9) переменный дебит при r = r_e (2.37)

10) отключение скважины при r = r_e (2.38)

Контрольные вопросы и задачи

1. Запишите уравнение неразрывности в общем случае, а также для фильтрации несжимаемой жидкости в недеформируемой пористой среде.

Каков физический смысл уравнения неразрывности?

2. Запишите полную систему дифференциальных уравнений для решения задачи о фильтрации несжимаемой жидкости по линейному закону в недеформируемом пласте.

3. Во сколько раз изменится плотность упругой жидкости и совершенного газа при изменении давления в 100 раз, от атмосферного (p_ат = 0,1 МПа) до р = 10 МПа? Принять βж = 10^-8 Па^-1.

4. Какая функция называется функцией Лейбензона?

5. Какой вид примет функция Лейбензона для сжимаемой жидкости

6. Какой вид примет функция Лейбензона для реального газа, если к = const, μ = const, а коэффициент сверхсжимаемости z зависит от давления линейно?

7. Как запишется дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации однородного флюида при к = cosnt, μ = const? Какой вид примет это уравнение в случае установившейся фильтрации?

8. Как запишется дифференциальное уравнение установившейся фильтрации совершенного газа относительно давления (к = const, μ = const)?

9. Какие граничные условия для давления должны быть поставлены на внешней и внутренней границах нефтяного пласта, в котором работает одна скважина радиусом при r_e, если дебит скважины постоянный, а внешняя граница служит контуром питания?