Лекция №6 Алгебраический аппарат решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Система m линейных уравнений, с n - неизвестными

Большинство существующих транспортных, экономических задач основывается на решении систем линейных уравнений.

Способы решения СЛУ

		Метод обратной матрицы

Метод Гаусса

Пусть дана система 3 линейных уравнений с 3 переменными:

Алгоритм решения:

- Составить расширенную матрицу А из коэффициентов при неизвестных со столбцом свободных членов.

o

- Выбрать ведущую строку и ведущий элемент.

- В столбце ведущего элемента с помощью элементарных

преобразований строк все остальные элементы превратить в ноль.

- Если в полученной матрице появилась строка вида (0 0 … 0 / с), где

, то преобразование следует прекратить, т.к. исходная система несовместна. Если в полученной матрице появилась строка вида (0 0 … 0/0), то ее нужно вычеркнуть.

- Снова выбрать ведущий элемент среди строк, которые еще не были

ведущими и повторить 3, 4 и 5. (В случае совместной системы каждая строка должна побывать ведущей).

- Получив матрицу треугольного вида нужно записать

соответствующую ей систему уравнений.

- Из новой системы уравнений найти неизвестные переменные.

Примеры 1

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее к треугольному виду:

Для полученной матрицы запишем соответствующую систему уравнений.

Ответ: (1; 1; 1)

Метод Крамера

Пусть дана система 3 линейных уравнений с 3 переменными:

Алгоритм решения:

- Составляем матрицу из коэффициентов перед неизвестными,

вычисляем для нее определитель, называем его главным определителем ΔА

- Составляем вспомогательные определители, путем замены в

главном определителе сначала первый, потом второй, третий столбец столбцом свободных коэффициентов, вычисляем их и обозначаем соответственно Δx₁, Δx₂, Δx₃

- Находим решение системы по формулам Крамера

Примеры 2