Лекция №5 Понятие матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами

Определение Матрицей – называется таблица чисел содержащая определенное количество строк и столбцов

Элементами матрицы являются числа вида a_ij, где i- номер строки j- номер столбца

Пример 1 i = 2 j = 3

Обозначение: А=

Виды матриц:

1. Если число строк не равно числу столбцов , то матрица называется пря моугольной:

Пример 2

2. Если число строк равно числу столбцов , то матрица называется квадратной:

Пример 3

Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком. В примере n = 2

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

Диагональ, содержащая элементы a₁₁, a₂₂ ……., a_nn, называется  главной, а диагональ, содержащая элементы а₁₂, а_2n-1, …….a_n1 – вспомогательная.

Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называется диагональной:

Пример 4 n = 3

3. Если у диагональной матрицы элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

Пример 6 n = 3

4. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается буквой О

Пример 7

5. Треугольной матрицей n-ого порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:

Пример 8 n = 3

Действия над матрицами:

Суммой матрицы А и В называется такая матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Пример 9

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые число строк и столбцов.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен ka_ij

Пример10

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Произведение матриц. Что бы умножить матрицу на матрицу, необходимо выбрать первую строку первой матрицы и умножить на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы, результат сложить. Этот результат расположить в результатирующей матрице в 1-ой строке и 10ом столбце. Аналогично выполняем действия со всеми остальными элементами: 1-ую строку на второй столбец, на 3-ий и т.д., затем со следующими строками.

Пример 11

Умножение матрицы А на матрицу В возможно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строе второй матрицы.

- произведение существует;

- произведение не существует

Примеры 12 последнюю строчку во II матрицы умножать не с чем, т.е. произведение не существует

Транспонирование матрицы называется операция замены элементов строки на элементы столбца:

Пример13

Возведением в степень называется последовательное перемножение матрицы саму на себя:

Пример 14

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Определение Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А^-1*А=1

Свойство матрицы

1. Переместительный закон относительно сложения

А+В = В+А – выполняется

Пример 15

2. Распределительный закон - выполняется:

Пример

3. Переместительный закон относительно умножения - не выполняется

Пример 17

произведение не существует

Пример 18