Контактные схемы

11.1. Переключательные схемы. В качестве одной из интерпретаций булевых функций рассмотрим электрическую схему, состоящую из источника напряжения (батареи), лампочки и одного или двух ключей х ₁ и x ₂. Ключи управляются кнопками с двумя состояния­ми: кнопка нажата (1) и кнопка отпущена (0). Если в исходном со­стоянии ключ разомкнут, то при нажатии кнопки он замыкается. Ключ может быть сконструирован и так, что в исходном состоянии он замкнут, тогда нажатие кнопки означает его размыкание, т. е. приводит к противоположному результату. Поэтому нормально за­мкнутые ключи обозначим через и .

При соответствующих состояниях кнопок лампочка принимает одно из двух состояний: горит (1) и не горит (0). Состояния кнопок отождествляются со значениями булевых переменных х ₁ и x ₂,а со­стояние лампочки - со значением функций этих переменных.

Операции отрицания соответствует схема с одним нормально замкнутым ключом (рис. 11.1а). Если кнопка нажата (х = 1), ключ разомкнут и лампочка не горит, т. е. f(x) = 0; при отпущенной кнопке (х = 0) ключ замкнут и лампочка горит, т. е. f(x) = 1. Операциям дизъюнкции и конъюнкции соответствуют схемы с двумя нормально разомкнутыми ключами (рис. 11.1б, в).Легко убедиться, что в схеме рис. 1б лампочка горит при нажатии хотя бы одной из кнопок, а в схеме рис. 1в - только при нажатии обеих кнопок одновременно.

Рис. 11.1 – Элементарные контактные схемы

Любую сложную булеву функцию можно представить некоторой переключательной схемой. На рис. 11.2а показана схема, реализую­щая функцию . Та же функция представляется равносильной формулой , которой соответствует другая более простая схема
(рис. 11.2б ). Следует иметь в виду, что ключи, обозначенные одинаковыми буквами (х или х), связаны между собой и управляются общей кнопкой.

Рис. 11.2 - Контактная схема до и после упрощения

В реальных устройствах используются ключи различной кон­струкции и физической природы (механические, электромагнитные, электронные, гидравлические, пневматические и т. д.). Однако при реализации логических функций многие технические особенности не имеют значения. Существенными свойствами контактных схем являются исходные положения ключей (нормально разомкнуты или нормально замкнуты) и способ их соединения между собой и внешними устройствами. Эта информация полностью отображается графом, ребра которого соответствуют ключам, а вершины - точкам их соединения. Ребра нормально разомкнутых ключей обозначаются соответствующей переменной (х), а нормально замкнутых - отрицанием переменной (). Например, контактная схема (рис. 11.2б)изображается графом, как показано на рис. 11.3а. При изображении контактных схем графами принимаются неко­торые специфические условия и упрощения. Обычно переменные обозначаются в разрывах линий, изображающих ребра. При этом ребрами считаются только такие линии, которые обозначены какой-либо переменной или ее отрицанием. Другие линии, не являющиеся ребрами графа, могут изображать входы и выходы схемы, связи с другими схемами и т. п. Кроме того, вершины второй степени могут не изображаться, так как им инцидентны пары последовательно соединенных ребер, из которых каждое обозначено соответствующей переменной. На рис. 11.3бпоказана контактная схема в обычно принятом виде.

Рис. 11.3 – Граф контактной схемы

11.2. Контакты. Как уже отмечалось, любую булеву функцию можно реализовать схемой, состоящей из последова­тельно и параллельно соединенных ключей. Каждый такой ключ может находиться в двух состояниях — разомкнут (0) и замкнут (1), а переход из одного состояния в другое осуществляется каким-либо управляющим органом.

В электрических цепях роль ключей играют многочисленные устройства, предназначенные для коммутации (замыкания и размыкания): выключатели, электромагнитные реле, телеграфные ключи, электронные ключевые схемы и т. п. Обычные выключатели, телеграфные ключи и подобные им устройства управляются рукой человека. Состояние электромагнитного реле изменяется под воз­действием электрического тока, протекающего по обмотке катушки. Ключом в широком смысле является всякое устройство, способное принимать только одно из двух возможных состояний: механические защелки, дверные замки, рычаги управления, желез­нодорожные светофоры и т. п. Более того, двузначную переменную, независимо от ее конкретного смысла, можно рассматривать, как ключ, состояние которого соответствует значению этой переменной. В рамках общей теории целесообразно отвлечься от конструктивных и специфических особенностей ключевых объектов и интерпретировать ключ как отрезок проводника с контактом, который может быть разомкнут или замкнут. Разомкнутое состояние контакта отождествляется с нулем, а замкнутое - с единицей.

Замыкающие (нормально разомкнутые) контакты обозначаются х_i, размыкающие (нормально замкнутые) контакты — через . При управляющем воздействии контакт меняет свое состояние: нормально разомкнутый контакт замыкается, а нормально замкнутый - размыкается. В зависимости от своего состояния контакты пропускают электрический ток или препятствуют его прохождению.

Процессы переключения в реальных устройствах занимают некоторое, иногда довольно большое время. Однако во многих задачах время переключения можно не учитывать, считая, что кон­такты переходят из одного состояния в другое мгновенно.

11.3. Однотактные схемы. Схемы, образованные соединением контактов, которые переключаются одновременно (за один такт), а время переключения не учитывается, называются однотактными.

Простейшие примеры таких схем были рассмотрены выше. Каждая из них, будучи включена в цепь с источником, в результате совместного действия контактов замыкает или размыкает эту цепь и, следовательно, сама является некоторым контактом по отношению к цепи с источником. Подобные контактные схемы назы­вают двухполюсными.

Соответствие между двухполюсной контактной схемой и булевой функцией выражается следующим образом: значения переменных определяются наличием (1) или отсутствием (0) тока в обмотке реле, а значения функции у - состоянием двухполюсной цепи (как и для контактов, 0 соответствует разомкнутой, а 1 — замкнутой цепи).

Независимо от характера ключей двухполюсная контактная схема представляется как схема с п входами и одним выходом у (рис. 11.4).Состояния входов определяют воздействия на контакты схемы, причем вход х, управляет всеми контактами, обозначенными этой буквой (хi или ).	Рис. 11. 4
11.4. Анализ контактных схем. Задача анализа контактной схемы состоит в построении соответствующей ей булевой функции. Для параллельно-последовательных схем эта задача решается на основе того, что параллельное соединение контактов соответствует дизъюнк­ции, а последовательное соединение — конъюнкции переменных, которыми эти контакты обозначены в схеме. Например, для двух­полюсной контактной схемы (рис. 11.5) Если схема (или ее часть) имеет произвольную структуру, то ее анализ проводится путем выделения всех путей между входным и выходным полюсами схемы. Каждый такой путь представляется конъюнкцией переменных входящих в нее контактов, а вся схема — дизъюнкцией этих конъюнкций. Например, для мостиковой схемы (рис. 11.6)	Рис. 11.5 Рис. 11.6

Интересно отме­тить, что эта функция реализует операцию сложения по модулю 2 трех двоичных переменных, т. е. у = х ₁ + х ₂+ х ₃,в чем можно убедиться по таблицам соответствующих функций.

11.5. Синтез контактных схем. При построении контактной схемы по заданной булевой функции (задача синтеза) исходная функция может быть задана как логической формулой, так и таблицей. В обоих случаях прежде всего необходимо выразить функции через операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Каждая опера­ция конъюнкции соответствует последовательному соединению контактов, а операция дизъюнкции — параллельному соединению. В результате получаем последовательно-параллельную контактную схему.

Пусть, например, функция задана таблицей соответствия, приве­денной ниже.

На основе ее в совершенной дизъюнктивной нор­мальной форме строится схема в виде параллельного соединения ветвей, каждая из которых представляет собой последовательное соединение контактов, соответствующих переменным конституент единицы (рис. 7а).

Преобразуя исходное выражение, можно получить другие кон­тактные схемы, соответствующие данной функции. Так, для рас­сматриваемого примера:

Этому выражению соответствует схема рис. 11.7б, которая со­держит на два контакта меньше. Еще проще мостиковая схема (рис. 11.6), которая реализует ту же функцию.

Рис. 11.7

Центральной проблемой синтеза является построение наиболее простой или в каком-то смысле оптимальной схемы. Часто эта проблема сводится к минимизации булевых функций, т. е. к такому их представлению, в котором соответствующие формулы содержат минимальное количество вхождений переменных. Проблема опти­мального синтеза еще далека от полного решения, но разработан­ные методы позволяют существенно упрощать формулу и схемы, а в сравнительно простых случаях получать и оптимальные схемы.

11.6. Схемы со многими выходами.Если необходимо реализовать несколько булевых функций, то каждая из них может быть представлена соответствующей контактной схемой. Однако такой путь неэкономичен. Более целесообразно построить единую схему с несколькими выходами (рис. 11.8), соответствующими данной системе функций:

Рис. 11.8

Примером многовыходной схемы может служить полное релейное дерево, в котором каж­дая конституента единицы представлена одним выходным полюсом, а всего имеется 2ⁿ выходов (на рис. 11.9аизоб­ражено полное релейное дерево для п = 3).

Рис. 11.9 - Полное релейное дерево

Любую функцию от п переменных можно реализовать объеди­нением выходов полного релейного дерева, которые соответствуют тем наборам переменных, на которых функция принимает значе­ния 1. Контакты, которые не подсоединены к требуемым выходам, удаляются из схемы. Например, для функции, заданной таблицей в (11.5), построение приведено на рис. 11.9б. После упрощения эта схема приводится к виду рис. 11.7б.

Более простые схемы можно получить объединением участков релейного дерева, общих для путей, которые соответствуют раз­личным конституентам. Для этого обозначаем одинаковыми буквами или цифрами те узлы, из которых выходят пары х_п и с совпадающими значениями функции. Дальше аналогично обозначаем оди­наковыми буквами узлы, из которых выходят пары х_{п -1}и с сов­падающими предыдущими обозначениями (порядок букв также учитывается) и т. д. до последней пары х ₁и После этого одина­ково обозначенные узлы объединяются и проводятся упрощения в соответствии с рис. 11.10.

Рис. 11.10 – Упрощение контактных схем
Так, в схеме рис. 11.9б для пар ()имеется две комбинации значений (1, 0) и (0, 1). Узлы, из которых выходят пары с комби­нациями (1, 0), обозначаем буквой а, а узлы, из которых выходят пары с комбинациями (0, 1) — буквой b. Для пар ()также встречаются две комбинации в предыдущих обозначениях: (а, b) и (b, а). Узлы, из которых выходят эти пары, обозначаем соответ­ственно через а' и b'. Наконец, для пары () имеется единствен­ная комбинация (а', b'), и узел, из которого выходит эта пара, обозначаем через а".
Объединяя узлы с одинаковыми обозначениями (а и b), приходим к схеме, показанной на рис. 11.11, которая после замены параллельных контактов совпадает с мостиковой схемой (рис. 11.6).	Рис. 11.11

Объединяя выходы полного релейного дерева, можно построить контактные схемы и для нескольких функций при условии, что множества наборов значений переменных, на которых эти функции принимают значения 1, не пересекаются. Пусть, например, требу­ется построить контактную схему с двумя выходами, реализующую функции и . Из таблицы соответствия для этих функций

видим, что ни на одном наборе значений переменных функции не принимают одновременно значений, равных 1. Следовательно, для построения требуемой контактной схемы можно воспользоваться полным релейным деревом (рис. 11.12а)в результате преобразова­ния которого получаем схему с двумя выходами (рис. 11.12б).

Рис. 11.12 – Многовыходная схема

11.7. Булевы матрицы. Для описания контактных схем произволь­ной структуры с любым числом выходов используются различные типы булевых матриц, элементами которых являются константы 0 и 1, переменные и функции этих переменных.

Пусть контактная схема имеет k узлов. Мат­рица непосредственных связей (примитивная матрица соединений) Р - это квадратная таб­лица k×k, элементы главной диагонали кото­рой равны 1, а элементы представляют собой булеву функцию прямого соединения меж­ду узлами i и j. Матрица полных связей (полная матрица соединений) Q отличается тем, что ее элементы представляют собой булеву функцию с учетом всевозможных путей без циклов меж­ду узлами i и j. Так, для схемы рис. 11.13 имеем:

Рис. 11. 13

Произведение булевых матриц определяется, как и для обыч­ных матриц, правилом «строка на столбец», но операциям сложе­ния и умножения действительных чисел соответствуют дизъюнк­ция и конъюнкция логических переменных и функций.

Можно показать, что для любой контактной схемы с k узлами существует такое r ≤ k - 1, что , где s - произвольное целое положительное число. Это значит, что матрицу пол­ных связей можно получить умножением матрицы непосредствен­ных связей Р на саму себя до тех пор, пока результат не начнет повторяться, причем число таких умножений не превышает k - 1. Так, для рассматриваемого примера имеем:

Следует отметить, что элементы матрицы Рⁱ представляют собой функции всех связей между узлами посредством не более чем i -1 узлов. В частности, каждый элемент матрицы P²учитывает непосредственные связи между парой узлов и связи между ними посредством еще одного узла. Например, соответствует непосредственной связи между узлами 2 и 3 через контакт , а также связи посредством узла 4 (член х₂х₃).

8. Исключение узлов (анализ). При анализе контактной схемы с помощью булевых матриц сначала записывается матрица не­посредственных связей Р, а затем путем возведения ее в соответ­ствующую степень получается матрица полных связей Q. Элементы матрицы Q и представляют собой булевы функции данной кон­тактной схемы между парами узлов с соответствующими номерами.

Однако такой способ в большинстве случаев не является рацио­нальным, так как обычно представляют интерес только некоторые из функций между внешними узлами (полюсами) схемы. Поэтому имеет смысл предварительно исключить внутренние узлы и таким образом уменьшить порядок матрицы Р,прежде чем возводить ее в требуемую степень. При исключении s-гo узла в матрице непо­средственных связей вычерчиваются s-я строка и s-й столбец и каж­дый ее элемент заменяется элементом . Член учитывает путь между узлами iи j через узел s, который дейст­вует параллельно с непосредственной связью . В результате исключения узла матрица Рпреобразуется к матрице P_sна единицу меньшего порядка, которая представляет собой матрицу непосред­ственных связей относительно неисключенной совокупности узлов. Пусть, например, в схеме рис. 11.14 требуется определить булевы функции между узлами 1, 2 и 3. Матрицы Ри Р₄ имеют вид:

Рис. 11.14

,

Определив после преобразований, получим матрицу полных связей относительно узлов 1, 2 и 3,называемую матрицей выходов:

Элементы этой матрицы являются функциями выходов:

9. Введение узлов (синтез). При синтезе контактных схем за­даются функции для внешних узлов (полюсов), которые определяют матрицу выходов. Необходимое и достаточное условие непротиворечивости этих функций состоит в том, что матрица выходов должна быть устойчивой, т. е. удовлетворять равенству F = F².

Структуру контактной схемы, реализую­щей заданную непротиворечивую совокуп­ность функций, можно получить из матрицы Fпутем ее последовательного расширения, соот­ветствующего операции введения узла. Эта опе­рация обратна исключению узла и приводит к матрице F_s, порядок которой на единицу выше, а элементы таковы, что при исключении узла s снова получим мат­рицу F.Последовательным применением операции введения узла исходная матрица расширяется и преобразуется к виду, при котором элементы представляют собой константы 0 или 1, переменные, их отрицания или элементарные конъюнкции переменных. Тогда полученную матрицу можно рассматривать как матрицу непосред­ственных связей, на основе которой легко построить соответствую­щую контактную схему. При этом элементарные конъюнкции реали­зуются последовательными соединениями соответствующих кон­тактов.

Операция введения неоднозначна, поэтому можно получать различные схемы, удовлетворяющие заданным функциям. Выбор наилучшего пути преобразования матрицы F к матрице непосредственных связей Р, определяющей вид контактной схемы, в значи­тельной степени зависит от искусства инженера.

Пусть требуется построить контактную схему со следующими функциями:

Матрица выходов имеет вид:

Элементы этой матрицы можно рассматривать как результат исключения узла 4, который мы должны ввести, т. е.

Полагая (возможны и другие варианты), имеем . Таким образом, в результате введения узла 4 имеем матрицу

Продолжая аналогично, можно записать соотношения для элементов матрицы F_(4,5), соответствующей введению узла 5:

Если принять, то необходимо положить

В результате приходим к матрице, которую можно рассматривать как матрицу непосредственных связей Р синтезируемой схемы:

Схема, соответствущая этой матрице, показана на рис. 11.15.

Рис. 11.15

11.10. Вентильные схемы. До сих пор предполагалось, что контакты обладают двусторонней проводимостью, т. е. в открытом состоянии они пропускают сигналы как в прямом, так и в обратном направлениях. Таковы, например, контакты электромагнитных реле. Однако при использовании электронных ключей, например управляемых диодов, проводимость в прямом направлении настолько превышает проводимость в обратном направлении, что практически можно считать контакты односторонними, т. е. пропускающими сигналы только в прямом направлении. Схемы с односторонними контактами называют вентильными схемами.

В вентильных схемах имеет место естественное разделение сигналов: если к узлу схемы одновременно подступают несколько сигналов, то результирующий сигнал в этом узле действует как их дизъюнкция. Направления прохождений сигналов обозначаются на схемах стрелками, относящимися к соответствующим контактам. Пример вентильной схемы показан на рис. 11.16.

Рис. 11.16 – Вентильная схема

Булевы матрицы вентильных схем в общем случае несимметрич­ны. Так, для приведенной схемы имеем:

,

Матрицу Q можно также записать непосредственно из вентильной схемы, учитывая для ее элементов все пути от i - гоузла к j-му узлу по направлению стрелок. Так,

и т. д.

Булева функция для любого выхода может быть определена также последовательным исключением узлов, кроме входного и выходного.

Синтез вентильных схем осуществляется аналогично изложен­ному выше, причем в исходной матрице выходов все функции, кроме заданных, обычно полагаются тождественно равными нулю. Пусть, например, . Матрица выходов и ее расширения имеют вид:

, ,

Схемы, соответствующие F₍₄₎ и F_(4,5) показаны на рис. 11.17. Как видно, вторая схема (рис. 11.17б) содержит на один контакт меньше, чем первая (рис. 11.17а).

Рис. 11.17