Примеры решения задач. 8.4.1. Заданы независимые случайные величины Х и Y: xi -1 yj pi 0,2 0,5 0,3

8.4.1. Заданы независимые случайные величины Х и Y:

xi -1       yj        
pi 0,2 0,5 0,3 qj 0,2 0,4 0,3 0,1


Составить законы распределения случайных величин Х + Y, ХY, Х 2 + Y 2.

Решение. Указанные законы распределения приведены в табл. 8.11 - 8.13.

Таблица 8.11

xi + yj -1          
pij 0,04 0,18 0,32 0,29 0,14 0,03

Таблица 8.12

xiyj -3 -2 -1        
pij 0,02 0,06 0,08 0,6 0,12 0,09 0,03

Таблица 8.13

             
pij 0,1 0,3 0,2 0,15 0,05 0,15 0,05

Поясним, например, как получился закон распределения случайной величины ХY. Возможны 7 значений произведений xi yj: -1, -2, -3, 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений таковы:

p (XY = -3) = p (X = -1, Y = 3) = p (X = -1 )·p (Y = 3) = 0,2·0,1 = 0,02;

p (XY = -2) = p (X = -1, Y = 2) = 0,2·0,3 = 0,06;

p (XY = -1) = p (X = -1, Y = 1) = 0,2·0,4 = 0,08;

p (XY = 0) = p (X = 0 или Y = 0) = p (X = 0) + p (Y = 0) – p (X = 0)× p (Y = 0) =

= 0,5 + 0,2 – 0,5·0,2 = 0,6;

p (XY = 1) = p (X = 1)× p (Y = 1) = 0,3·0,4 = 0,12;

p (XY = 2) = p (X = 1) × p (Y = 2) = 0,3·0,3 = 0,09;

p (XY = 3) = p (X = 1) × p (Y = 3) = 0,3·0,1 = 0,03;

Контроль: 0,02 + 0,06 + 0,08 + 0,6 + 0,12 + 0,09 + 0,03 = 1.

Поясним еще, как была вычислена вероятность события { Х 2 + Y 2 = 5}.

p (Х 2 + Y 2 = 5)= p (X = -1, Y = 2 или X = 1, Y = 2) = p (X = -1) × p (Y = 2) +

+ p (X = 1) ×p (Y = 2) = 0,2·0,3 + 0,3·0,3 = 0,15.

8.4.2. Ниже для каждой пары значений (xi, yj) дискретных случайных величин Х и Y заданы вероятности pij (табл. 8.14). Найти закон распределения суммы Z = Х + Y.

Таблица 8.14

yj xi        
-1 0,01 0,06 0,05 0,04
  0,04 0,24 0,15 0,07
  0,05 0,10 0,10 0,09

Решение. Сумма Х + Y принимает следующие значения: -1, 0, 1, 2, 3, 4. Найдем соответствующие вероятности.

p (X + Y = -1) = p (X = -1, Y = 0) = 0,01;

p (X + Y = 0) = p (X = -1, Y = 1) + p (X = 0, Y = 0) = 0,06 + 0,04 = 0,1;

p (X + Y = 1) = p (X = -1, Y = 2) + p (X = 0, Y = 1) + p (X = 1, Y = 0) =

= 0,05 + 0,24 + 0,05 = 0,34;

p (X + Y = 2) = p (X = -1, Y = 3) + p(X = 0, Y = 2) + p (X = 1, Y = 1) =

= 0,04 + 0,15 + 0,1 = 0,29;

p (X + Y = 3) = p (X = 0, Y = 3) + p (X = 1, Y = 2) = 0,07 + 0,1 = 0,17;

p (X + Y = 4) = p (X = 1, Y = 3) = 0,09.

Этот закон распределения (вероятности обозначены ) задан в табл. 8.15.

Таблица 8.15

zк -1          
rк 0,01 0,1 0,34 0,29 0,17 0,09

Контроль: 0,01+ 0,1 + 0,34 + 0,29 + 0,17 + 0,09 = 1.

8.4.3. Две независимые случайные величины Х и Y имеют такие законы распределения (табл. 8.16 и 8.17).

Таблица 8.16 Таблица 8.17

xi           yj -1    
pi 0,3 0,2 0,1 0,4 qj 0,2 0,1 0,7

Построить закон распределения случайной величины Z = min(X, Y).

Решение. Для удобства составления закона распределения случайной величины Z представим ее возможные значения - числа zij и вероятности этих значений - произведения в таблицах (табл. 8.18 и 8.19).

Таблица 8.18 Таблица 8.19

 
Z = min(xi, yj) pij = pi×qj.

yj xi -1       qj pi 0,2 0,1 0,7
  -1     0,3 0,06 0,03 0,21
  -1     0,2 0,04 0,02 0,14
  -1     0,1 0,02 0,01 0,07
  -1     0,4 0,08 0,04 0,28

Закон распределения случайной величины Z представлен в табл. 8.20.

Таблица 8.20

zi -1        
pi 0,2 0,24 0,16 0,08 0,32

Контроль: .


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  




Подборка статей по вашей теме: