Графическое интегрирование

Этот прием применяется в тех случаях, когда функцию нельзя проинтегрировать в аналитической форме или это связано с большим объемом работ.

При графическом интегрировании в виде графика задается подынтегральная функция. График вычерчивается в декартовой системе координат с учетом числовых значений масштабов. При этом необходимо разбить ось абсцисс на такое количество интервалов, которое позволит считать изменение графика внутри каждого малого промежутка равномерным. Эти малые промежутки необязательно должны быть равными.

Увеличение числа узловых точек и масштаба чертежа позволяют повысить точность метода.

Довольно часто требуется построить график функции, которая находится непосредственно интегрированием заданной кривой.

Например, т.к. , то определение работы по известному моменту силы можно произвести графическим интегрированием, указанным методом (Рис.3).

Порядок графического интегрирования прямой функции:

1. Строят оси координат, в которых вычерчивают график . Определяют масштабы и .
2. Ось абсцисс делят на некоторое число шагов с равными или не равными интервалами. В пределах каждого интервала заданную функцию считают постоянной и равной среднему значению ординаты.
3. Концы ординат середины каждого интервала проецируют на ось, отмечая точки .
4. В координатах по оси абсцисс влево откладывают отрезок интегрирования . Из точки проводят лучи, соединяя найденные точки с точкой :, , … .
5. На искомом графике проводят линии параллельные в пределах соответствующего интервала лучам , , … . Первый отрезок проводят через начало координат , следующие отрезки соответственно через точку , затем и.т.д.
6. Ломаная линия дает приближенный график искомой функции, а ординаты в узловых точках соответствуют значению этой функции.
7. Полученные точки соединяют плавной кривой, это и есть график . Подсчитывают масштаб: .

Вывод масштабной формулы.

На Рис.3 кривая изображена в масштабе по оси ординат и - по оси абсцисс. Искомая функция может быть найдена по соотношению:

.

В каждом интервале, например от до можно приближенно считать, что

, (1)

т.е. можно принять, что площадь криволинейной трапеции равновелика площади прямоугольника высотой и основанием .

Лучи , , … образуют с положительным направлением оси абсцисс углы , причем

. (2)

Так как на искомом графике проводят линии параллельные лучам , , … в пределах соответствующих интервалов, то эти линии наклонены относительно положительного направления оси абсцисс под такими же углами причем

. (3)

приравниваем правые части соотношений (2) и (3):

или . (4)

Т.к. по Рис. 3:

, (5)

то, подставив в (5) соотношения (4) и учитывая, что отрезки на графиках связанны с соответствующими физическими величинами с помощью масштабов соотношениями:

(5)

Получают

(6)

где: .

Соответственно масштаб искомого графика:

.

Примечание:

Отрезок интегрирования выбирается произвольно, но его величина влияет на размеры ординат искомой функции, т.е. его назначают с учетом желаемого масштаба графика первообразной функции: чем больше его величина, тем меньше этот масштаб, и тем соответственно ниже конечная ордината графика первообразной.