Формула Бернулли. П.4 Формула полной вероятности

П.4 Формула полной вероятности. Формула Байесса.

Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей.

Пусть некоторое событие А происходит только с каким-нибудь одним из событий Н₁, Н₂, Н₃, …, Н_n, которые образуют полную группу событий и называются гипотезами. В этом случае событие А можно представить в виде: А=А×Н₁ + А×Н₂ + А×Н₃ + … +А×Н_n. Отсюда, применяя теоремы сложения и умножения вероятностей и учитывая, что гипотезы попарно несовместны, получим:

(8), которая называется формулой полной вероятности. Используя формулы (6) и (8), можно получить формулу Байесса (формулу вероятности гипотез):

(9).

Пример 5.4.1. В районе имеется три хлебных магазина. Вероятность того, что человек пойдет за хлебом в первый магазин, равна 0,5; во второй – 0,3; в третий – 0,2. Вероятность купить в магазинах свежий хлеб равна соответственно 0,7; 0,5 и 0,3. Человек пошел за хлебом. Найти вероятность того, что он купит свежий хлеб.

Решение: Обозначим А – событие, состоящее в том, что человек купит свежий хлеб; Н₁- покупка была сделана в первом магазине, Н₂ - во втором, Н₃ – в третьем. Из условия задачи известны: Р(Н₁)=0,5; Р(Н₂)=0,3; Р(Н₃)=0,2, а также , , . По формуле полной вероятности имеем:

. ¨

Пример 5.4.2. Данные из предыдущего примера. Известно, что человек купил свежий хлеб. Найти вероятность того, что покупка сделана в первом магазине.

Решение: Используя полученные выше результаты, по формуле (9) находим: . ¨

Если производится несколько опытов, вероятность появления события А в каждом из которых постоянна и не зависит от исходов остальных опытов, то такие опыты называются независимыми от события А.

Пусть производится n независимых опытов, вероятность появления события А в каждом из которых постоянна и равна р. Тогда вероятность его непоявления в каждом из опытов также постоянна и равна 1-р=q. Требуется найти вероятность того, что в n опытах событие А появится ровно m раз и не появится n-m раз. Формула для ее нахождения: , где (10), называется формулой Я. Бернулли.

Пример 5.4.3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет р =0,8. Найти вероятность 7 попаданий при 10 выстрелах.

Решение: Здесь n =10, m =7, р =0,8, q =1-0,8=0,2. По формуле (10) находим: . ¨

§ 6. Информация и информационные процессы