СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЛЕКЦИЯ 4
Системы линейных уравнений. Основные понятия: совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы. Метод Гаусса. Общее решение. Теорема Кронекера-Капелли. Исследование на совместность систем линейных уравнений. Однородные системы и свойства их решений. Фундаментальная система решений.
Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений
В общем случае n ¹ m.
Решением системы называется такая совокупность n чисел {a1,a2,...,a n }, которая при подстановке в данную систему на место не известных x 1, x 2,..., xn преобразует все уравнения в тождества. Задача теории систем линейных уравнений состоит в том, чтобы найти все решения системы. При этом возможны три случая.
1) Система вообще не имеет решений. Системы линейных уравнений, не имеющие ни одного решения, называются несовместными. Например, система уравнений
несовместна. С геометрической точки зрения, это соответствует двум параллельным несовпадающим прямым плоскости xOy.
|
|
2) Если система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Совместные системы могут иметь либо одно решение, либо бесконечно много решений. Системы, имеющие только одно решение, называются определенными. Например,
С геометрической точки зрения, это соответствует двум пересекающимся прямым плоскости xOy.
3) Система, имеющая бесконечно много решений, называется неопределенной. Например,
С геометрической точки зрения, это соответствует двум совпадающим прямым плоскости xOy.
Историческая справка. В трактатах до XIX в. рассматривались только квадратные системы линейных уравнений, т.е. системы, у которых число неизвестных равно числу уравнений. В случае несовместных или неопределенных систем довольствовались замечанием о некорректно поставленной задаче. В 1849 г. К. Гаусс (1777-1855) исследовал алгоритм последовательного исключения неизвестных для решения произвольных систем линейных уравнений, который с различными модификациями применяется до сих пор в практических вычислениях. Введение 1877 г. Г. Фробениусом (1849-1897) понятия ранга матрицы, позволило явно выразить условие совместности и определенности систем линейных уравнений через ее коэффициенты (теорема Кронекера-Капелли). Эта теорема содержалась в лекциях, прочитанных Л. Кронекером (1823-1891) в 1883-91 гг. А. Капелли (1858-1892) впервые дал формулировку теоремы с использованием термина "ранг" (1892 г.). К концу XIX в. усилиями К. Вейерштрасса (1815-1897), М. Жордана (1838-1922), Г. Фробениуса, Ш. Эрмита (1822-1901) и др. было завершено построение общей теории систем линейных уравнений.