Напряженные состояния и деформация горных пород в массиве

На горные породы в условиях их естественного залегания действуют следующие силы:

1. горное давление, создаваемое весом вышележащих пород;

2. пластовое давление (давление флюидов в порах пласта);

3. тектонические силы;

4. термические напряжения (результат действия естественного геотермического и искусственного теплового полей).

По определению, напряжение () – это поверхностная плотность действующий сил:

(2.1)

где - сила, действующая на элемент площадки dS. Размерность напряжений в системе СИ – паскаль (Па).

1 Па=1 Н/м² =1 кг/(м*с²).

Если внешние силы действуют только в направлении одной оси, то они вызывают в ней одноосное напряженное состояние; по двум осям – плоское (двухосное) напряженное состояние, по трем осям – объемное напряженное состояние, которое в случае равенства всех сил, называется гидростатическим.

Напряжения, направленные перпендикулярно рассматриваемой площадке dS, называются нормальными (s), а направленные вдоль площадки dS – касательными (t).

Если выделить из массива горных пород элементарный кубик (рис. 2.1), то в общем случае результирующие векторы напряжений, действующие на его грани, (3 вектора) не будут перпендикулярными к ним. Каждый такой вектор можно разложить на три состовляющие по осям координат

три компоненты – одну нормальную - s и две касательные - t (например, s_X, t_XY, t_XZ для грани нормальной к оси Х).

Напряженное состояние элементарного объема (точки) характеризуется девятью компонентами тензора напряжений S_IJ второго ранга (рис.2.1):

(2.2)

Если горная порода находится в равновесии, то касательные напряжения, направленные противоположно друг другу в одной плоскости должны быть равны, так как суммарный момент действующих на кубик сил равен нулю:

t_XY =t_YX t_XZ=t_ZX t_YZ=t_ZY (2.3)

Тензор, при котором выполняются равенства (2.3) называются симметричным.

Компоненты напряжений зависят от ориентации выделенного элементарного объема. Этот объем можно ориентировать так, что касательные напряжения будут отсутствовать. В этом случае нормальные напряжения называются главными нормальными напряжениями, а грани на которые они действуют, называют главными плоскостями.

Нормальные и касательные напряжения, действующие на элемент горной породы, вызывают соответствующие деформации его. Нормальные составляющие напряжений вызывают деформации сжатия или растяжения e_Х, e_Y и e_Z, которые выражаются через относительное изменение e линейных размеров образца (элемента) и называются относительными линейными (рис.2.2а):

где L’ - длина ребра L после деформирования, DL – изменение длины ребра.

Линейные деформации, происходящие по направлению действующей силы, называют продольными, перпендикулярно ей – поперечными.

Касательные составляющие напряжений вызывают деформации сдвига граней g_XY, g_YZ, g_XZ, которые выражаются через тангенсы углов сдвига tg g (или через углы сдвига g, т.к. из-за малости углов tg g~g),рис 2.2б, 2.2в, 2.2г.

Суммарная деформация граней g_XY, g_YZ, g_XZ – величина, на которую уменьшается прямой угол между соответствующими гранями в результате сдвига вдоль двух соответствующих осей координат.

В случае чистого сдвига (т.е. при отсутствии нормальных напряжений), как видно из рис.2.2 (б, в, г):

где g₁ – угол сдвига под действием касательного напряжения t_XY, а g₂ – угол сдвига под действием касательного напряжения t_YX.

Если породы однородны и изотропны, то g₁=g₂=g₃ и суммарных угол сдвига g_XY составит:

или

С учетом этого можно написать выражение для тензора деформаций, содержащего как компоненты нормальные и сдвиговые деформации граней:

где k и е – индексы, обозначающий тензор деформации. При некоторых условиях (однородные, изотропные породы и равновесные состояния пород) – симметричный, т.е. противоположные сдвиговые деформации (например, g_XY и g_YX – равны).