Вывод уравнения теплопроводности плоской стенки

Запишем уравнение Фурье в развернутом виде

При стационарном режиме температура в различных точках постоянна во времени, т.е

Температурное поле одномерно (плоская стенка) .

Т.о. уравнение Фурье приобретает вид: d²t/dx²=0.

Проинтегрируем дважды: dt/dx = C₁; t = C₁x+C₂. C₁ и С₂ найдем из условий на границе: х=0; х=d. При х=0 t_ст1=С₂, а при х=d t_ст2= C₁d+ t_ст1;

C₁=(t_ст2- t_ст1)/d; В результате получим

t=x(t_ст2- t_ст1)/d+ t_ст1 (8)

Температура по толщине стенки х меняется линейно, температурный градиент сохраняет постоянное значение. Подставим полученное значение градиента температуры в (4)-з. Фурье и получим уравнение теплопроводности плоской стенки при стационарном тепловом режиме

dQ=l/d(t_ст1 - t_ст2)dFdt.

Q=l/d(t_{ст 1} - t_ст2)Ft (9).

Здесь l/d - термическая проводимость стенки.