1º. Решить неравенство с одной переменной – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решениями неравенства.
Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают. Равносильность неравенств обозначается так: .
2º. Линейным неравенством называется неравенство вида , где .
Если a > 0, то .
Если a < 0, то .
Пример 9. Решить неравенство, сводящееся к линейному:
.
Решение: Раскрыв скобки, получим:
.
Ответ:
3º. Квадратным неравенством называется неравенство вида (или ), где а ≠ 0.
При решении квадратного неравенства в зависимости от знака дискриминанта могут представиться 3 варианта:
1) Если D < 0, то график квадратного трехчлена не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a > 0 и ниже ее при a < 0. В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором – пустое множество.
2) Если D > 0, то график квадратного трехчлена пересекает ось Ох в точках х1 и х2 (x1 < x2), являющихся корнями уравнения . Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка (-∞; x1), (x1; x2), (x2; +∞). Если a > 0, то решением неравенства является множество . Если a < 0, то решением неравенства является множество (x1; x2).
|
|
3) Если D = 0, то график квадратного трехчлена касается оси Ох в точке х1, являющейся единственным корнем уравнения . При a < 0 решением неравенства будет пустое множество, при a > 0 – множество .
Пример 10. Решить неравенство .
Решение: Рассмотрим функцию . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a = -3 < 0.
Решим уравнение или . Корни этого уравнения . Изобразив схематически параболу , найдем, что y < 0 в каждом из промежутков (-∞; 1/3), (3; +∞).
Ответ: .