Примеры решения задач. 7.2.1 Задача 1. Вычислить дефект массы Dm и удельную энергии связи DЕ0 ядра лития

7.2.1 Задача 1. Вычислить дефект массы D m и удельную энергии связи D Е ₀ ядра лития

Решение: Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Dm и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

D m = Zm_р+ (А -Z) m_n - m_я, (7.1)

где Z - атомный нромер (число протонов в ядре);

А- массовое число (число нуклонов, составляющих ядро);

m_p, m_n, m_я – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (7.1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса m_a нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома:

m_a = m_я + Zm_е,

откуда

m_я = m_а - Zm_е (7.2)

Выразив в равенстве (7.1) массу ядра по формуле (7.2), получаем

D т = Zm_p + (А –Z) m_n – m_a + Zm_я,

или

D т = Z (m_p +т_е) + (А –Z) m_n – m_a.

Замечая, что m_p +m_e = m_H, где m_H - масса атома водорода, окончательно находим

D т = Zm_H + (А –Z) m_n – m_a (7.3)

Подставив в выражение (7.3) числовые значения масс (см. таблицу 7), получим

D m =[3×1,00783+(7-3)×1,00867 – 7,01601] а.е.м. = 0,04216 а.е.м.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии

D Е = с² D m, (7.4)

где с – скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности с² может быть выражен двояко:

с² = 9×10¹⁶ м²/с² или с² = = 9×10¹⁶ Дж/кг.

Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с ² = 931 МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (7.4) примет вид

D Е = 931D m (МэВ). (7.5)

Удельной энергией связи нуклонов в ядре называют энергию связи ядра, приходящуюся на один нуклон, т.е.

D Е ₀ =D Е /А.

Таким образом, в соответствии с формулой (7.5) имеем:

D Е ₀ =931D m /А (МэВ). (7.6)

Подставим найденное значение дефекта массы D m =0,04216 а.е.м., массовое

число (число нуклонов) для А = 7 и произведем вычисления:

D Е ₀ = = 4,7 МэВ.

Ответ:D m = 0,04216 а.е.м.; D Е₀ =4,7 МэВ.

7.2.2 Задача 2. Определить начальную активность А₀ радиоактивного препарата магния массой m =0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6ч. Период полураспада Т_1/2 магния 10 мин.

Дано: m =0,2 мкг =0,2 ×10-9кг t = 6ч = 2,16×103с Т 1/2 =10мин = 600с	Решение: Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу: А = - . (7.7)
А0-? А -?

Знак «-» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.

Для того, чтобы найти , воспользуемся законом радиоактивного распада:

N = N₀ e^-λt,(7.8)

где N - число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени t; N₀ – число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный

(t =0); l - постоянная радиационного распада.

Продифференцируем выражение (7.8) по времени:

= - l N₀ e^-λt. (7.9)

Исключив из формул (7.7) и (7.9) , находим активность препарата в момент

времени t:

А = l N₀ e^-λt (7.10)

Начальную активность А ₀ препарата получим при t = 0;

А ₀= l N₀ (7.11)

Постоянная радиоактивного распада l связана с периодом полураспада Т _1/2 соотношением

l = . (7.12)

Число N ₀ радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро N_A на количество вещества n данного изотопа:

N₀ = n N_A = N_A, (7.13)

где m - масса изотопа; μ - молярная масса.

С учетом выражений (7.12) и (7.13) формулы (7.10) и (7.11) принимают вид

А ₀ = N_A, (7.14)

А = N_A . (7.15)

Проверим единицы физических величин:

[ A ] =[ A ₀]= =с^-1= Бк

Произведем вычисления, учитывая, что μ = 27×10^-3 кг/моль,

А ₀ = × 6,02×10²³ Бк = 5,13×10¹² Бк = 5,13 ТБк.

А = × 6,02×10²³× Бк = 81,3 Бк

Ответ: А ₀ = 5,13 ТБк, А = 81,3 Бк

7.2.3 Задача 3. При соударении a- частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода . Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Решение: Обозначим неизвестное ядро символом _Z Х ^А. Так как a - частица представляет собой ядро гелия ₂ Не ⁴, запись реакции будет иметь вид

₂ Не ⁴ + ₅ В ¹⁰® ₁ Н ¹+ _Z Х ^А.

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение

4+10 =1+А,

откуда А=13.

Применив закон сохранения заряда, получим уравнение

2 + 5 = 1+ Z,

откуда Z =6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода ₆ С ¹³. Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:

₂ Не ⁴ + ₅ В ¹⁰® ₁ Н ¹+₆ С ¹³

.

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле

Q = 931 [(m _He + m _B) – (m _H + m _C)] (7.16)

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут, и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер.

Проверим единицы физических величин в формуле (7.16):

[ Q ]= =МэВ.

Подставив массы атомов, взятые из справочной таблицы 7, в расчетную формулу, получим

Q = 931 [(4,00260 +10,01294) – (1,00783 + 13,00335)] МэВ= 4,06 МэВ.

Ответ: Z = 6; A= 13; Q = 4,06МэВ.