Решение волнового уравнения методом Тейлора

Задача Коши для волнового уравнения

(40)

с начальными условиями

(41)

где – неизвестная функция, – заданы, может быть решена методом Тейлора. Для этого необходимо разложить функцию при любом фиксированном в ряд Тейлора по времени относительно точки t =0 (ряд Маклорена)

(42)

Если найти коэффициенты , то по формуле (42) получим решение. Заметим, что определяются из начальных условий (41).

Разложим в ряд Маклорена функцию в правой части уравнения (40)

(43)

Поскольку функция задана, то все могут быть найдены.

Выражения для второй частной производной и оператора Лапласа , фигурирующих в уравнении (40), следуют из (42)

(44)

Подставим (43) и (44) в уравнение (40). В результате получим равенство

Это равенство равносильно соотношениям

(45)

которые определяют коэффициенты и т.д. через , заданные в начальных условиях (41).

Таким образом, решение задачи Коши (40)–(41) выражается формулой:

(46)

где заданы в (41), а остальные находятся по (6)

(47)

Пример 8. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так как и , то по (47) Отсюда

То есть, все остальные

Подставляем найденные в решение (46)

Окончательно,

▲

Пример 9. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так как и , то по (47)

Найдем по этой формуле

И так далее, все остальные

Подставляем полученные в решение (46)

Таким образом, решением исходного уравнения является функция

▲