Пусть на задана сетка , в узлах которой известны значения функции . Сплайн третьей степени , интерполирующий заданную функцию , определяется как функция, удовлетворяющая условиям:
1)
2) Для любого частичного промежутка -многочлен третьей степени
3)
Для задания надо определить 4 коэффициента для каждого промежутка , т.е. параметров.
Условия 1) требуют чтобы во внутренних узлах сплайн и его производные до 2-го порядка были непрерывны.
Это дает условия для определения параметров, еще условие содержится в 3).
Итого имеем условия. Еще 2 условия, необходимые для однозначного определения сплайна, обычно задаются в виде граничных условий, т.е. условий в точках и .
Возьмем в качестве граничных условия
4)
Для построения кубического интерполяционного сплайна могут быть использованы различные подходы. Проведем построение сплайна, исходя из условий 1) - 4). Из 1) и 2) следует, что??? непрерывная функция, линейная на каждом т.е.??? - линейный сплайн.
Обозначив , получаем
(33)
для .
Интегрируя (5), получаем
(34)
(35)
и - постоянные интегрирования.
Условия 3) дают:
(36)
Из (36) получаем:
Подставляя и в (7), получаем:
(37)
После преобразования
из (37) получаем
(38)
Из (34) получаем
(39)
Из (39) находим односторонние пределы производной для узла ,
(40)
(41)
Подставляя (40) и (41) в условие непрерывности в узле получаем:
(42)
Дополняя (42) равенствами из условия 4): , получаем систему уравнений относительно вида:
(43)
с квадратной матрицей .
и квадратной матрицей
Координатами вектора являются значения .
Для матрицы ненулевые элементы расположены на главной диагонали и двух соседних с ней. Такие матрицы называются трехдиагональными. Для выполнено условие диагонального преобладания .
Матрица с диагональным преобладанием невырождена. Следовательно, система (42) однозначно разрешима, т.е. существует единственный кубический интерполяционный сплайн. Кроме условий 4) - условий "свободного провисания" интерполяционной кривой в точках и , могут быть известны наклоны интерполяционной кривой в граничных точках. Тогда условия на границах имеют вид:
(44)
Могут быть использованы и другие варианты.
Вид граничных условий меняет некоторые элементы матрицы , но в любом случае она остается матрицей с диагональным преобладанием.
Решение системы (43) с трехдиагональной матрицей может быть найдено посредством специального варианта метода последовательного исключения неизвестных, который называется методом прогонки.
Относительно оценки погрешности и сходимости интерполяций кубическими сплайнами имеют место следующие результаты:
если , то , где , ,
если , , то оценка имеет вид для .
Из этих оценок следует сходимость интерполяционного процесса на последовательности сеток .