Решение. Запишем матрицу квадратичной формы

А = . Найдем собственные значения матрицы А:

= 0, (3 - l)² – 25 = 0, l² - 6 l – 16 = 0,

l₁ = -2, l₂ = 8 – cобственные числа. Так как l₁ и l₂ отличны от нуля и разных знаков, то кривая – гипербола.

Найдем собственные векторы матрицы А.

Пусть l = l₁ = -2.

Þ х₁ = -х₂ Þ .

| | = = , = = = ().

Пусть l = l₂ = 8.

Þ х₁ = х₂ Þ .

| | = = , = = = ().

Выполняя преобразование

х = (х¢ - у¢), у = (х¢ + у¢),

матрицей которого является матрица

С = ,

получим

8 (х¢)² – 2 (у¢)² - х¢ - у¢ - 13 = 0.

Выделим полные квадраты по каждой из новых переменных:

8 (х¢)² - х¢ = 8 - 4

– 2 (у¢)² - у¢ = -2 + 9.

Уравнение кривой примет вид:

8 - 2 = 8.

Сделаем замену переменных, соответствующую сдвигу по каждой из координатных осей:

х² = х¢ - , у² = у¢ + .

Получим уравнение кривой:

8 (х²)² – 2 (у²)² =8 или - = 1.

Это и есть результирующее уравнение гиперболы.

Результирующее преобразование координат имеет вид:

х = (х¢ - у¢), где х¢ = х² + , у¢ = у² - , т.е.

х = = (х² - у²) + 2

у = (х¢ + у¢) = = (х² + у²) – 1,

а каноническая система координат:

0¢ (2, -1), = - , = + .