Независимые события. Два события A и B называются независимыми, если

Два события A и B называются независимыми, если

P (A Ç B) = P (A) P (B). (7)

Для пояснения естественности такого определения вернемся к теореме умножения вероятностей (6) и установим, в каких ситуациях из нее следует (7). Очевидно, что это может быть тогда, когда условная вероятность P (A | B) равна соответствующей безусловной вероятности события А: P (A | B) = P (A), то есть когда вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. (Аналогично, P (B | A) = P (B)).

В основе независимости событий лежит их физическая независимость, состоящая в том, что множества факторов, влияющих на исход эксперимента и обусловливающих появление этих событий, не пересекаются или почти не пересекаются.

События A ₁, A ₂,…, A_n называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из этих событий не зависит от появления любого числа остальных событий.

Теорема умножения вероятностей для независимых в совокупности событий A ₁, A ₂,…, A_n имеет вид

P (A ₁Ç A ₂Ç … Ç A_n) = P (A ₁) P (A ₂) … P (A_n).

Пример 17 В трех урнах находятся шары разного цвета. В первой – два черных, пять белых и три красных, во второй – три черных, три белых и четыре красных, в третьей – один черный, четыре белых и пять красных. Из каждой урны случайным образом вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что среди трех вынутых шаров окажутся:

а) только черные шары;

б) все шары одного цвета.

Решение. Обозначим события:

A_i = {выбран черный шар из i -й урны}, i = 1, 2, 3;

В_i = {выбран белый шар из i -й урны}, i = 1, 2, 3;

С_i = {выбран красный шар из i -й урны}, i = 1, 2, 3;

D = {среди трех вынутых шаров окажутся только черные шары};

Е = {среди трех вынутых шаров окажутся шары одного цвета}.

Количество шаров	Урна
№ 1	№ 2	№ 3
2 черных, 5 белых, 3 красных	3 черных, 3 белых, 4 красных	1 черный, 4 белых, 5 красных

Согласно условию вероятность события A ₁ P (A ₁) =₌, вероятность события A ₂ – P (A ₂) = ₌, вероятность события A ₃– P (A ₃) = ₌.

Так как события A_i (i = 1, 2, 3) – независимы, применим теорему умножения вероятностей независимых событий, получим

Событие Е можно представить в виде . События несовместные.

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим

= 0,006 + 0,06 + 0,06 = 0,126, где = ;

= ;

= .

Пример 18 При изготовлении изделие проходит три основные независимые операции. Вероятность получения стандартного изделия при первой операции равна 0,9, второй – 0,95, третьей – 0,8. Найти вероятность того, что:

а) изделие окажется стандартным;

б) изделие окажется нестандартным.

Решение. Обозначим события:

A _i = { i -ю операцию изделие прошло без брака}, i = 1, 2, 3;