Уравнение кинетики реактора

Строгая связь между потоком нейтронов в реакторе и временем, в зависимости от описывается в рамках пространственной кинетики и, в принципе, может быть установлена путем решения нестационарного уравнения реактора (2.18). Однако получение такого решения является достаточно сложной задачей, связанной с серьезными вычислительными трудностями. Задача значительно упрощается, если предположить, что в результате какого-либо возмущения потоки нейтронов в каждой точке реактора изменяются пропорционально. Тогда для получения временных характеристик потока нейтронов и мощности реактора в целом, достаточно рассмотреть их зависимость от времени в точке. Такое рассмотрение называется точечной кинетикой.

В общем виде скорость изменения средней плотности тепловых нейтронов в реакторе может быть определена в виде суммы

dn/dt = (dn/dt) мгн+ (dn/dt) зап ,

(4.1)

где первое слагаемое учитывает вклад от замедления мгновенных нейтронов, а второе - вклад от замедления запаздывающих нейтронов.

Выражение, определяющее (dn/dt ) _мгн, может быть записано по аналогии с элементарным уравнением кинетики реактора

(dn/dt) мгн = /

(4.2)

с той лишь разницей, что избыточный коэффициент размножения d _э k _эф = k _эф - 1 в данном случае заменен избыточным коэффициентом размножения на мгновенных нейтронах = - 1.Физический смысл вновь введенного термина становится ясным, если представить эффективный коэффициент размножения нейтронов в виде двух слагаемых:

k эф = + ,

(4.3)

где = k _эф (1- b _эф) - коэффициент размножения на мгновенных нейтронах, = k _эф b _эф -коэффициент размножения на запаздывающих нейтронах.

Выражение, определяющее (dn/dt ) _зап, можно составить на основании следующих рассуждений. Если бы все запаздывающие нейтроны могли замедлиться до тепловой области энергий без потерь, то при концентрации с_i ядер-предшественников запаздывающих нейтронов i -й группы и соответствующей постоянной распада l_i скорость генерации тепловых нейтронов за счет замедления запаздывающих нейтронов была бы равна. . В действительности часть нейтронов претерпевает при замедлении резонансный захват, а часть покидает активную зону в результате утечки. Так как вероятность избежать резонансного захвата j, а вероятность избежать утечки при замедлении Р з, то откорректированная с учетом названных эффектов скорость генерации нейтронов составит

(dn/dt) зап = jР 3 .

(4.4)

Обычно для удобства реальные концентрации ядер-предшественников с_i заменяют эффективными концентрациями С _i = jР ₃ с_i, скорректированными на неизбежную потерю части замедляющихся запаздывающих нейтронов:

(4.5)

Для решения этого уравнения, содержащего семь переменных (п, C ₁, С ₂,..., С ₆), нужно знать законы изменения концентраций ядер-предшественников запаздывающих нейтронов каждой группы. В символической форме искомая зависимость для некоторой 1-й группы может быть записана в виде

(4.6)

Очевидно, что скорость распада, ядер-предшественников запаздывающих нейтронов i -й группы составляет l_iс_i. Что же касается скорости их генерации, то она может быть определена следующим образом.

Допустим, что в некоторый момент времени средняя плотность тепловых нейтронов в активной зоне равна п нейтр/см³, а эффективный коэффициент размножения k _эф. Из этого следует, что после одного цикла размножения средняя плотность тепловых нейтронов будет пk _эф, а соответствующая плотность нейтронов деления (с учетом потерь на резонансный захват и утечку при замедлении) составит пk _эф/(fР ₃). Значит, в этом цикле размножения родится пk _эф b /(fР ₃) ядер-предшественников запаздывающих нейтронов. Соответственно скорость генерации ядер-предшественников i -й группы с учетом ценности запаздывающих нейтронов определится как частное от деления [ пk _эф b /(fР ₃)] на среднее время жизни поколения мгновенных нейтронов l, так как поколения ядер-предшественников запаздывающих нейтронов меняются через каждые l секунд. Таким образом, с учетом радиоактивного распада выражение (4.6) можно переписать в виде

.

(4.7)

Умножив обе части равенства (4.6) на fР ₃, перейдем к эффективным концентрациям ядер-предшественников:

(4.8)

Таким образом, кинетика реактора с учетом шести групп запаздывающих нейтронов описывается системой из семи дифференциальных уравнений при i = l, 2,...,6.

Преобразуем полученную систему уравнений к виду, удобному для практического использования. Для этого представим входящее в уравнение в виде:

.

Если в этом равенстве и в уравнении (4.8) заменить k _эф на 1 + dk _эф, перемножить члены и пренебречь величинами второго порядка малости (b _эф dk _эф» 0), то система уравнений кинетики будет иметь вид

(4.9)

Для удобства решения уравнения при - 0,01 < dk _эф < 0,006 часто заменяют dk _эф на r = dk _эф/ k _эф (погрешность при этом не превышает 2%) и переходят от абсолютных значений п и С i к относительным = п/п _о и = С _i / , где n _о, и - значения п и в начальный момент времени (t = 0 ). В результате этого система (4.9) преобразуется к виду

(4.10)

Отношение n _o/ может быть найдено при начальных условиях: r = 0; 0; 1. Подставив 0 и 1 во второе уравнение системы (4.10), получим n _o/ = ll _i/ b .

Использовав это выражение для n _o/ в системе (4.10), окончательно будем иметь

(4.11)

При необходимости в приведенной системе уравнений кинетики реактора можно учесть наличие источника нейтронов.