Функциональные последовательности и ряды. Область сходимости

Пусть ряд f₁(x), f₂(x),…,f_n(x) (1) – бесконечная последовательность функции непрерывной на некотором промежутке (a;b). Если x=x₀, то можно получить числовую последовательность f₁(x₀), f₂(x₀),…,f_n(x₀) (2), которая может сходиться или расходиться. Совместимость всех значений x, при которых последовательность (1) сходится, называется областью сходимости этой последовательности.

Ряд, членами которого являются некоторые комплекснозначные функции бесконечной функциональной последовательности U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x) = называется функциональным рядом. Функциональный ряд называется сходящимся в точке x=x₀, если в этой точке сходятся последовательности его частичных сумм x₀: . Совокупность всех значений x, для которых сходится функциональный ряд, называется областью сходимости функционального ряда.