Решение типовых задач. Определить абсолютное давление ро на свободной поверхности воды в нижнем сосуде, если в верхнем сосуде жидкость керосин Т–1

Гидростатика

Задача

Определить абсолютное давление р_о на свободной поверхности воды в нижнем сосуде, если в верхнем сосуде жидкость керосин Т–1. Известны h₁ и h₂.h₁ = 210 мм; h₂ = 170 мм.

ρ_к = 808 кг/м³ – плотность керосина;

ρ = 1000кг/м³ – плотность воды.

Решение.

Согласно основному уравнению гидростатики р_абс = р₀+ ρgh, где р₀ – давление на поверхности жидкости; ρ – плотность жидкости; h – глубина погружения точки.

Давление на поверхности в нижнем сосуде равно р_о.

Тогда · 9,81? 0,21 + 1000? 9,81? 0,17 = 103330 Па.

Ответ: абсолютное давление на поверхности воды в нижнем сосуде 103330 Па.

Задача 2.

Определить силу давления на коническую крышку горизонтального цилиндрического сосуда с диаметром D, заполненного водой с температурой С, показание манометра р_м. Показать на рисунке вертикальную и горизонтальную составляющие силы, а также полную силу давления на коническую крышку. D=a.

р_м= 0,4 МПа = 400 000 Па; а = 1000 мм = 1м; D = 1,2 м; ρ = 1000 кг/м³.

Решение.

Коническая крышка имеет криволинейную стенку. Сила гидростатического давления на эту стенку будет равна,

рм

D

а

D

Sz

Px

Pz

P

где Р_х – проекция силы на горизонтальную ось;

Р_z – проекция силы на вертикальную ось.

Р_х = p_cs_z = pgh_cs_z, где р_с – давление в центре тяжести вертикальной проекции крышки S_х = ;

h_c – глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции крышки S_z. м;

Р_z – вес жидкости в объёме конической крышки V;

.

Тогда полная сила гидростатического давления на коническую крышку будет равна:

.

Ответ: Р = 451 000 Н

Задача 3.

Плоский прямоугольный щит АВ шириной в =2 м, расположенный под углом α = 60^о к горизонту, поддерживает уровень воды в прямоугольном канале глубиной H =4м. Определить силу гидростатического давления на щит и положение центра давления. Построить эпюру гидростатического давления.

Решение. Силу избыточного гидростатического давления определим по формуле (М.2). В нашем случае h _c = H / 2. А площадь щита

S = в Н / sinα = 2·4 / 0,866 = 9,25 м².

α

Р = ρgh_cS = 998? 9.81? 9.25 = 181 480 H.

Положение центра давления определяется по формуле:

,

где м⁴

Следовательно,

Задача 4.

Определить величину и направление силы гидростатического давления на четверть АВ цилиндрической стенки, поддерживающей слой воды h = r = 2 м. Ширина криволинейной поверхности b = 4 м.

Задача 5.

Решение. По формуле определим горизонтальную составляющую силы Р_X.

Р _Х = = 1000 · 9,81 · 2²/2 · 4 = 80 000 Н.

По формуле p_z = pgV

определим вертикальную составляющую силы. Объём тела давления рассчитываем по формуле

.

Тогда

По формуле находим равнодействующую силы давления.

Р = .

Направление силы гидростатического давления определяется углом наклона её к горизонту, тангенс которого находят из силового треугольника tgα = P_Z / P_X = 122 970/80 000= 1,54, α=57 ⁰С.

Проведя прямую через центр окружности (точка О) под углом α к горизонту, получим направление Р, а точка пересечения этой прямой с образующей цилиндра даёт центр давления - точку D.

Гидродинамика

По горизонтальной трубе общей длиной l =10 м и внутренним диаметром d = 60 мм подаётся вода при температуре t = 20^о С. Труба снабжена вентилем К (коэффициент сопротивления ξ=5), а также манометрами, которые фиксируют избыточные давление р ₁ = 2·10⁵ Па на входе и р ₂ = 1,5·10⁵ Па на выходе.

Определить расход воды Q, приняв в расчётах коэффициент гидравлического трения λ = 0,023, и построить в масштабе напорную и пьезометрическую линии для трубы.

Решение. Для определения расхода воды найдём среднюю скорость её движения по трубопроводу, применив уравнение Бернулли для сечений 1−1 и 2−2:

(А)

За плоскость сравнения принимаем плоскость, проходящую через ось трубы 0−0. Так как заданный трубопровод постоянного диаметра, то

скоростные напоры av²/2g в сечениях 1−1 и 2−2 будут равными.

Сумма гидравлических потерь h _1-2 состоит из потерь в местных сопротивлениях h _м и потерь по длине h _тр:

Подставим значения потерь в уравнение Бернулли (Б) и определим среднюю скорость:

,

Определим расход воды по формуле:

Для построения напорной и пьезометрической линий рассчитаем:

1) скоростной напор h_ck = av²/2g;

для определения α найдём число Рейнольдса:

,

где υ – кинематический коэффициент вязкости воды при 20 ^оС;

режим течения турбулентный, поэтому a = 1,

;

2) полный напор в сечении 1−1:

;

3) полный напор в сечении 2−2:

;

4) потери напора в вентиле К

;

5) потери напора на длине l: 2:

.

Проверка по уравнению (Б):

20,39 = 15,29 + 2,9 + 2?1,11

20,39 = 20,41,

т.е. расчёты выполнены верно, относительная погрешность составляет (0,02:20,4)·100 = 0,1 %.

По найденным выше значениям строим линии. Откладываем от плоскости сравнения 0−0 в сечении 1−1 в масштабе полный напор Н₁=20,97 м, и по ходу движения воды от него отнимаем потери

Получаем напорную линию. Откладывая от неё вниз скоростной напор h _ск, получаем пьезометрическую линию.

Задача 6.

При движении жидкости из резервуара в атмосферу по горизонтальному трубопроводу диаметром dи длиной 2L уровень в пьезометре, установленном посредине длины трубы равен h. Определить расход воды и коэффициент гидравлического трения трубы L, если статический напор в баке постоянен и равен Н. Построить пьезометрическую и напорную линии. Сопротивлением входа в трубу пренебречь.

Н = 7 м, h = 3 м, l = 3м, d = 30 мм = 0,03 м, р = 1000 кг/м³.

Решение. Составим уравнение Бернулли для сечений 1–1 и 2–2, плоскость сравнения проходит через ось трубы 0–0. ,

где z – расстояние от плоскости 0–0 до центра тяжести сечения;

p/pg

– пьезометрическая высота в сечении;

– скоростная высота в сечении;

h_п1-2  – потери напора на гидравлические сопротивления между сечениями.

Тогда ,

где L – коэффициент гидравлического трения;

– потери напора на трение,

тогда

Составим уравнение Бернулли для сечений 2−2 и 3−3 и решим относительно плоскости 0−0.

,

.

Отсюда

Решаем совместно полученные выражения

м/с.

Расход жидкости м³/с.

Определим:

Ответ: λ = 0,03, Q = 0,00313 м³/с.

5.3 Истечение жидкости через отверстия и насадки

Задача 7.

Определить длину трубы L, при которой опорожнение цилиндрического бака диаметром Dна глубину Н будет происходить в два раза медленнее, чем через отверстие того же диаметра d. Коэффициент гидравлического трения в трубе принять λ=0,025.

Н = 8 м, d = 0,5 м.

Решение.

Расход через отверстие в тонкой стенке равен ,

где μ – коэффициент расхода при истечении через отверстие m = 0.62;

S – площадь сечения отверстия, ;

Н – напор.

Расход через трубу длиной l и диаметром d c условием задачи составит:

, где M_TP – коэффициент расхода через трубу.

Время опорожнения сосуда при переменном напоре определяется по формуле t = 2v/Qд, где V – объём жидкости в баке при наполнении его напором Н; Q_Д – действительный расход.

По условию задачи , или .

Тогда . Из этого выражения найдём длину трубы l.

м.

Ответ: длина тубы l = 19,5м.

5.4 Гидравлический удар в трубах

Задача 8.

Вода в количестве Q перекачивается по чугунной трубе диаметром d, длиной l c толщиной стенки . Свободный конец трубы снабжён затвором. Определить время закрытия затвора при условии, чтобы повышение давления в трубе вследствие гидравлического удара не превышало Па. Как повысится давление при мгновенном закрытии затвора?

Q =0,053 м³/с. d = 0,15м, l = 1600м, = 9,5 мм, = 1 000 000 Па, p =1000 кг /м³.

Решение.

При условии, что время полного закрытия затвора , ударная волна будет равна ,

где p – плотность жидкости;

v– начальная скорость течения жидкости;

l – длина трубы;

T – фаза гидравлического удара.

Из этого выражения следует

.

По условию задачи?р=1 000 000 Па. м.

Т = с.

При мгновенном закрытии затвора превышение давления составит

,

где Е_Ж – модуль упругости жидкости, Е_Ж = Па;

Е – модуль упругости материала трубы, Е = 152 Па;

d – диаметр трубы;

δ– толщина стенки трубы.

кПа.

Ответ: Т = 0,1 с, /\p = 3900кПа.

Список литературы

1. Прозоров И.В., Николадзе Г.И., Минаев А.В. Гидравлика, водоснабжение и канализация. - М.: Высшая школа, 1990.

2. Калицун В.И. Гидравлика, водоснабжение и канализация: Учеб. Пособие для вузов по спец. «Пром. и гражд. стр-во». – 4-е изд., перераб. И доп. – М.: Стройиздат, 2003.

3. Константинов Н.П., Петров Н.А., Высоцкий Л.И. Гидравлика, гидрология, гидрометрия: учебник для вузов. В 2 ч. /Под ред. Н.М. Константинова. – М.: Высш. шк., 1987. – 438 с.: ил.

4. Альтшуль А.Д., Животовская Л.С., Иванов Л.П. Гидравлика и аэродинамика. − М.: Стройиздат, 1987.− 470 с.

5. Чугаев Р. Р. Гидравлика.– Л.: Энергоиздат, 1982. – 678 с.

6. Основы гидравлики и аэродинамики: учебник для техникумов и колледжей. Калицун В.И., Дроздов Е.В., Комаров А.С., Чижик К.И.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ОАО Изд-во «Стройиздат», 2004. – 296 с.

7. Киселёв П.Г. Гидравлика: основы механики жидкости и газа: учеб. пособие для вузов. – М.: Энергия, 1980. – 460.

8. Справочник по гидравлике. / Под ред. В.А. Большакова− Киев: издательское объединение «Вища школа», 1977.− 280 с.