2015-02-24
621
Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными
(1)
Действительные корни которых надо найти с заданной точностью.
Допускаем, что система (1) имеет лишь изолированные корни, число корней и их грубо приближенные значения можно установить, простроив кривые F1(x, y) и F2(x, y) определив координаты их точек пересечения.
Пусть x=x0 и y=y0 - приближенные значения корней системы (1), полученные графическим способом или другим способом (грубой прикидкой).
Представим систему (1) в виде
(2)
И построим последовательные приближения по следующим формулам:
(3)
Если итерационный процесс (3) сходится, т. е. существуют пределы,
то, предполагая функции j1(x, y) и j2(x, y ) непрерывными и переходя к пределу в (3), получим:
Отсюда
z = j1(z, h); h = j2(x, h),
Т.е. предельные значения z и h являются корнями системы (2), а следовательно, (1). Поэтому, взяв достаточно большое число итераций (3), получим xn и yn, которые будут отличаться от точных корней x= z и y= h системы (1) сколь угодно мало.
Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности
R {a £ x £ A; b £ y £ B} имеется одна пара корней x= z и y= h системы (2). Если:
1. Функции j1(x, y) и j2(x, y) определены и непрерывно дифференцируемы в R;
2. Начальные приближения x0 , y0 и все последующие приближения xn, yn (n=1,2,…) принадлежат R;
3. В R выполнены равенства
то процесс последовательных приближений (3) сходится к корням x=z и y=h системы (2), т. е.
и 
Замечание. Теорема остается верной, если условие 3) заменить на
или 
