Примеры решения задач. Задача 1. Два положительных точечных заряда находятся на расстоянии 0,5 м один от другого

Задача 1. Два положительных точечных заряда находятся на расстоянии 0,5 м один от другого. Величина одного заряда вдвое больше другого заряда. На прямой, соединяющей эти заряды, находится третий заряд. Определить, на каком от большего заряда находится третий заряд, если система находится в равновесии?

Дано: r = 0,5 м; q2= 2q1. x -?	Решение: F2 F1 x q1 q3 q2 r – x x r Рис. 8
На заряд q3 действуют силы: F1 и F2 – электрические силы взаимодействия с зарядами q1 и q2 соответственно. Запишем условия равновесия в скалярной форме относительно оси Х: F1 – F2 = 0, откуда F1 = F2. Учитывая, что ; где х – расстояние между зарядами q2 и q3. Получаем или ; откуда х = 1,4(r – x); 2,4x = 1,4r. . Ответ: х = 0,3 м.

Задача 2. Бесконечная вертикальная плоскость заряжена с поверхностной плотностью, равной 10мкКл/м². К плоскости на шелковой нити подвешен шарик массой 1,5 г. Определить заряд шарика, если нить образует угол 30^о с плоскостью.

Дано: =10мкКл/м2= 10-5 Кл/м2; m = 1,5г = 1,5.10-3 кг; = 30о. q -?

Решение: у Т Fк х mg Рис. 9

На заряженный шарик, подвешенный на нити, в электрическом поле действуют: F – электрическая сила, с которой поле плоскости действует на заряженный шарик, mg – сила тяжести, Т – сила натяжения нити. Запишем условия равновесия шарика относительно осей х и у: Ось х F - Tsin = 0; (1) Ось у -mg + Tcos = 0. (2) Решая (1) и (2) получим F = mg tg . (3) Учитывая, что F=Eq, a , получим , . . Ответ: q = 15,5 нКл.

Задача 3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами 2^.10^-7 Кл и -2^.10^-7 Кл. Расстояние между зарядами 50 см. Определить напряженность электрического поля в точке А, находящейся на расстоянии 40 см от первого заряда и на расстоянии 30 см от второго заряда.

Дано: q1 = 2.10-7 Kл; q2 = -2.10-7 Kл; r = 50 cм = 0,5 м; r1 = 40 см = 0,4 м; r2 = 30 см = 0,3 м; Е -?

E1 Решение: E r1 E2 q1 q2 r Рис. 10

Согласно принципу суперпозиции напряженность Е равна – векторной сумме напряженностей 1 и 2, т.е. Е = Е1 + Е2. (1) По теореме косинусов , (2) где , (3) . (4) cos найдем . . ; следовательно, = 900. Уравнение (2) примет вид: . (5) Подставим численные значения: . Ответ: Е = 2,3.104 В/м. Задача 4.Точечный заряд Q=25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R=1 cм, равномерно заряженным с поверхностной плотностью σ=2·103 нКл/м2. Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии r=10 см. Дано: Q=25 нКл=25·10-9 Кл R=1 cм=0,01 м σ=2·103 нКл/м2= =2·10-6 Кл/м2 r = 10 cм = 0,1 м; F -? E1 Решение: Сила, действующая на заряд Q, находящийся в поле, , (1) где Е напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q. Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра , (2) где τ – линейная плотность заряда. Выразим линейную плотность τ через поверхностную плотность σ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящейся на нем заряд Q1 двумя способами: и . (3) Приравняв правые части этих неравенств, получим . После сокращения на l найдем . С учетом этого формула (2) примет вид . Подставив это выражение в формулу (1), найдем искомую силу: . (4) Подставим значения и найдем искомую силу . Ответ: Задача 5.Воздушный конденсатор с зарядом на обкладках q1 площадью обкладок S и расстоянием между ними d погружают в жидкость с диэлектрической проницаемостью E2 на его объема. Найти напряжение на обкладках конденсатора после погружения. Дано: q; d; E1; E2; V2= V1. U -? Решение: с1 E1 с2 E2 Рис. 12 Рис. 13 Конденсатор, частично погруженный в жидкость, можно представить в виде двух параллельно соединенных конденсаторов с одинаковым расстоянием между обкладками d, одинаковым напряжением на них U, но с разными диэлектрическими проницаемостями E1 и E2 и разными площадями обкладок:

и , где и , поэтому и . Общая емкость этой батареи с = с1 + с2, где и , поэтому (1) Суммарный заряд на батарее из этих двух конденсаторов остался таким же, каким был до погружения: , откуда . (2) Подставив (1) в (2) . Ответ: .

Задача 6. Металлический шар радиусом R=3см несет заряд Q=20 нКл. Шар окружен слоем парафина толщиной d=2 см. Определить энергию W электрического поля, заключенного в слое диэлектрика.

Дано: R=3см=3·10-2 м Q=20 нКл= =20·10-9 Кл d=2 см=2·10-2м -?

Решение: Так поле, созданное заряженным шаром, является неоднородным, то энергия поля в слое диэлектрика распределена неравномерно. Однако Объемная плотность энергии будет одинакова во всех точках, отстоящих на равных расстояниях от центра сферы, так как поле заряженного шара обладает сферической симметрией.

Выразим энергию в элементарном сферическом слое диэлектрика объемом dV , (1) где ω – объемная плотность энергии. Полная энергия выразится интегралом , (2) где r – радиус элементарного сферического слоя; dr – его толщина. Объемная плотность энергии определяется по формуле , где Е - напряженность поля, в нашем случае и, следовательно, . (3) Подставив это выражение плотности в формулу (2) и вынеся за знак интеграла постоянные величины, получим Подставляя значения в формулу найдем . Ответ: .

Задача 7. Амперметр сопротивлением 0,1 Ом имеет шкалу до 4 А. Какое сопротивление должно быть у шунта, чтобы увеличить предел измерения амперметра до 24 А?

Дано: R1 = 0,1 Ом; I1 = 4 A; I2 = 24 A. Rш -?	Решение: Iш I2 I1 A Рис. 14
Ток в неразветвленной части цепи I2 = I1 + Iш, но так как шунт и амперметр соединены параллельно, то U = IR1 = IшRш. , т.е. I2 = I1 + ; отсюда ; Ом. Ответ: Rш = 0,02 Ом.

Задача 8. Вольтметр сопротивлением 200 Ом имеет шкалу до 60 В. Какое дополнительное сопротивление нужно подключить к вольтметру, чтобы увеличить предел измерения вольтметра до 300 В?

Дано: R1 = 200 Ом; U1 = 60 В; U2 = 300 В. R -?	Решение: R V Рис. 15
При последовательном соединении напряжение на концах участка U2 = U1 + UR, так как ток во всех участках цепи одинаков, то или , ; отсюда . Ом = 800 Ом. Ответ: R = 800 Ом.

Задача 9. Как изменится температура медного провода, если по нему в течение 5 с проходит ток плотностью 9 А/мм² и 25 % тепловой энергии отдается окружающим телам?

Дано: t = 0,5 с; 2 = 9 А/мм2 = 9.106 А/м; = 0,75 Т -?

Решение: Запишем выражение для КПД , (1) Qп – количество теплоты, затраченное на нагревание проводника.

Qп = m c T, учитывая, что m = V, a V = l S, получим Qп = l S c T, (2) = 8900 кг/м3 – плотность меди; с = 380 Дж/(кг. К) – удельная теплоемкость меди; Qз – количество теплоты, которое выделится при прохождении электрического тока по проводнику. По закону Джоуля - Ленца Qз = I2Rt, учитывая, что I = jS, a R = , получим Qз = j2 t = j2S l t, (3) = 1,7.10-8 Ом . м – удельное сопротивление меди. Подставляем (2) и (3) в (1) . . . Ответ: Т = 1,5 К.

Задача 10. Батарея элементов состоит из параллельно соединенных источников тока с ЭДС 5,5 В и внутренним сопротивлением каждого источника

5 Ом. При силе тока во внешней части цепи 2 А полезная мощность (т.е. мощность тока во внешней части цепи) равна 7 Вт. Сколько источников тока содержит батарея?

Дано: Е = 5,5 В; r = 5 Ом; I = 2 А; Р = 7 Вт. n -?	Решение: Закон Ома для n параллельно соединенных источников тока с одинаковыми ЭДС и внутренними сопротивлениями: . (1) - внешнее сопротивление. (2)
Подставляем (1) в (2) получим . . Ответ: n = 5.

Задача 11. Сколько электроэнергии надо затратить для выделения в процессе электролиза 1 л кислорода при температуре 27 ^ОС и давлении 10⁵ Па, если электролиз ведется при напряжении 10 В и КПД процесса 75 %?

Дано: V=1л = 10-3 м3; Т=27 ОС+ 273 ОС=300 К; U = 10 В; Р=105 Па; = 0,75; К=0,083.10-6 кг/Кл; =32.10-3 кг/моль. А3 -?	Решение: Запишем формулу КПД , (1) где АП = IUt – работа, совершаемая эл. током. (2) Силу тока выразим из закона Фарадея для электролиза m = Kit; . (3)
Подставим (3) в (2) . (4) Массу кислорода найдем из уравнения Менделеева – Клапейрона ; . (5) Подставим (5) в (4) . (6) Подставим (6) в (1) получим , отсюда . . Ответ: АЗ=2.105 Дж.

Задача 12. Термопара, сопротивление которой 6 Ом, позволяет определить минимальное изменение температуры t_мин = 0,006 ⁰С. Найти сопротивление гальванометра, подключенного к термопаре. Постоянная термопары

Дано: Ом; tмин = 0,006 0С;	I2 Решение: Электродвижущая сила , возникающая в термопаре при разности температур ее спаев, вычисляется по формуле (1) С другой стороны, согласно закону Ома (2)
где - сила тока в цепи термопары; - полное сопротивление цепи; - сопротивление гальванометра. Приравнивая правые части (1) и (2), получим откуда (3) Но где - число делений, на которое отклонилась стрелка гальванометра при силе тока . Подставив указанные выражения и в (3) и сократив на , получим (4) Выпишем числовые значения в СИ и подставим их в (4): Ом; Ом = 14 Ом. Ответ: = 14 Ом.

Задача 13. По двум длинным прямолинейным и параллельным проводам, расстояние между которыми 4 см, в противоположных направлениях текут токи , Найти магнитную индукцию поля в точке , которая находится на расстоянии 2 см от первого провода на продолжении линии, соединяющей провода.

Дано: ; ; ;

Решение: I2 I1 A Рис. 16

На рисунке провода расположены перпендикулярно к плоскости чертежа. Маленькими кружочками изображены сечения проводов. Условимся, что ток течет к нам, а ток - от нас. Общая индукция в точке равна векторной (геометрической) сумме индукции и полей, создаваемых каждым током в отдельности, т.е. (1) Для того чтобы найти направление векторов и , проведем через точку силовые линии магнитных полей, созданных токами и . Силовые линии магнитного поля прямого провода с током представляют собой концентрические окружности с центром на оси провода. Направление силовой линии совпадает с движением концов рукоятки правого буравчика, ввинчиваемого по направлению тока (правило буравчика). Поэтому силовая линия магнитного поля тока , проходящая через точку , представляет собой окружность радиусом а силовая линия магнитного поля тока , проходящая через эту же точку, - окружность радиусом (на рис. 6 показана только часть этой окружности). По правилу буравчика находим, что силовая линия магнитного поля тока направлена против часовой стрелки, а тока - по часовой стрелке. Теперь легко найти направление векторов и в точке : каждый из них направлен по касательной к соответствующей силовой линии в этой точке. Так как векторы и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить алгебраическим равенством (2) Индукция магнитного поля тока , текущего по прямому бесконечно длинному проводу, вычисляется по формуле (3) где - магнитная постоянная; - магнитная проницаемость среды, в которой провод расположен; - расстояние от провода до точки, в которой определяется индукция. Подставив значения и в равенство (2), получим или (4) Выразим числовые значения в СИ и подставим их в (4): Ответ:

Задача 14. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 5 мТл по окружности. Найти период его обращения. Масса электрона 9,1^.10^{-31 кг, модуль его заряда 1,6.}10^-19 Кл.

Дано: В = 5 мТл = 5.10-3 Тл; m = 9,1.10-31 кг; е = 1,6.10-19 Кл. Т -?	Решение: На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца , (1) где = 900 и sin 90 = 1. По второму закону Ньютона эта сила F = m ,
где - центростремительное ускорение, тогда . (2) Приравниваем правые части (1) и (2) . Учитывая, что . , отсюда . с = 7.10-9 с. Ответ: Т = 7 нс.

Задача 15. В однородное магнитное поле индукцией 10^-4 Тл влетает -частица со скоростью 2^.10³ м/с под углом 30⁰ к направлению вектора индукции. Определить радиус витков траектории -частицы и расстояние, пройденное ею вдоль силовых линий поля за три витка.

Дано: В = 10-4 Тл; = 600 м/с; = 300; т = 6,7.10-27 кг; q = 3,2.10-19 К. R -? S -?	Решение: - частица в магнитном поле будет перемещаться по винтовой линии. у S y x х Рис. 17
Из формулы силы Лоренца (1) видно, что ее величина зависит от значения составляющей скорости, направленной перпендикулярно вектору В: . (2) Вторая составляющая скорости, направленная вдоль силовой линии, определяет скорость перемещения - частицы вдоль поля: . (3)
Радиус витков траектории - частицы найдем, решая систему уравнений: получим, Величина нормального ускорения а будет определяться составляющей скорости y: , отсюда . (4) . Величину перемещения - частицы вдоль силовой линии за три витка найдем из формулы: . (5) Период вращения - частицы . (6) Подставляя в формулу (5) выражения (6), (2) и (3) получаем значение перемещения - частицы вдоль силовой линии: ; . Ответ: R = 0,21 м, S = 6,8 м.

Задача 16. В однородном магнитном поле находится плоский виток радиусом 0,05 м, расположенный перпендикулярно к линиям поля. Какой ток потечет по витку, если индукция магнитного поля за время 0,2 с равномерно изменяется от 0,1 Тл до 0,2 Тл? Сопротивление витка 0,5 Ом.

Дано: r = 0,05 м; t = 0,2 c; B1 = 0,1 Тл; B2 = 0,2 Тл; R = 0,5 Ом. I -?	Решение: Искомая сила тока , где С – э.д.с. индукции, . Приращение магнитного потока равно . Площадь контура .
. . Знак минус означает, что магнитное поле индукционного тока противоположно внешнему магнитному полю. Ответ: I = -7,9.10-3 м.

Задача 17. На немагнитный каркас длиной 50 см и площадью сечения 3 см² намотан в один слой провод диаметром 0,4 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Найти индуктивность получившегося соленоида и магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение соленоида при токе 1 А.

Дано: l = 50 см; S = 3 см2; d = 0,4 мм; I = 1 A. L -? Фм -?

Решение: Индуктивность соленоида вычисляется по формуле , (1) где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; V – объем соленоида. Число витков n получим, разделив единицу длины на диаметр провода d:

(2) Объем соленоида V = S l, где S – площадь поперечного сечения соленоида, l – длина соленоида. Подставим выражения для n и V в равенство (1): , где = 4 Гн/м, = 1. . При наличии тока в соленоиде любое его поперечное сечение пронизывает магнитный поток Фм = BS, (3) где В – магнитная индукция в соленоиде. Магнитная индукция соленоида определяется по формуле: . (4) Подставив выражения (2) и (4) в (3), получим расчетную формулу . Ответ: L 1,18 мГн, Фм = 0,942 мкВб.

Задача 18. Ток, текущий в рамке, содержащей витков, создает магнитное поле. В центре рамки индукции поля Найти магнитный момент рамки, если ее радиус

Дано:	Решение: Магнитный момент рамки с током (1) где - сила тока в витке;
- площадь, охватываемая витком ; - число витков в рамке. Индукция магнитного поля в центре кругового тока (многовиткового) откуда Подставляя в (1) выражения для и , получим (2) Выпишем числовые значения величин в СИ и подставим их в расчетную формулу (2): Ответ:

Задача 19. Плоская рамка площадью 100 см², содержащая 20 витков тонкого провода, вращается в однородном магнитном поле с индукцией 100 мТл. Амплитуда э. д. с. индукции . Определить частоту вращения рамки.

Дано: .	Решение: Для определения частоты вращения рамки используем понятие угловой скорости вращения: где - период вращения; - частота вращения. Отсюда (1)
Угловую скорость вращения найдем из соотношения (2) где - мгновенное значение э. д. с. индукции. Амплитудой является значение , соответствующее значению Из соотношения (2) имеем (3) Подставив выражение по (3) в (1), получаем Выразим значения всех величин, входящих в формулу, в СИ: ; Выполним вычисления: Ответ: