2015-02-04
695
| Рис. 5.11. Вращение вокруг неподвижной оси |
| a) |
| B |
|
| A |
|
|
| A |
|
|
| б) |
Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси
(рис. 5.11,a).
Уравнение второго фундаментального закона имеет вид:
, или 
где точка А – любая точка на оси вращения, 
– вектор угловой скорости.
Если нас интересует только угол поворота 
, достаточно найти одну лишь проекцию на ось , для чего умножим скалярно обе части уравнения на орт и внесем его в производную:
.
По определению, 
осевой момент инерции, причем это постоянная величина, а 
момент относительно оси . Таким образом, получили дифференциальное уравнение вращения вокруг неподвижной оси:
(5.29)
Если ось подвеса горизонтальна и внешними воздействиями являются сила
тяжести и, разумеется, опорные воздействия, с которыми ось подвеса действует на тело, то тело называют физическим маятником (рис. 5.11,б). В этом случае уравнение (5.29) принимает вид нелинейного уравнения
, которое может быть проинтегрировано либо численно, либо в так называемых эллиптических функциях. Уравнение малых колебаний, под которыми будут пониматься движения, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, получим, положив 
|
|
|
, (5.30)
где обозначено 
квадрат собственной частоты.
Решение уравнения (5.30) имеет вид: 
, где константы 
определяются из начальных условий 
.
Ясно, что измеряя собственную частоту 
(или период 
), можно экспериментально найти момент инерции 
.
