Предел функции. Понятие предела функции является одним из самых важных в математике

Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию | x – a | < δ, x ≠ a, выполняется неравенство | f (x) – A | < ε.

График 1.3.6.1. Предел функции y = x ² при x → 2.

График 1.3.6.2. Предел функции

при x → 0.

Если A – предел функции в точке a, то пишут, что

Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем

то

,
если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

Из существования пределов f (x) в точке a и g (y) в точке f (a) следует существование предела сложной функции g (f (x)) в точке a.

Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы:

https://old.college.ru/mathematics/courses/function/content/chapter1/section3/paragraph6/theory.html

Пример. Найти при:
а) х ₀=1; б) х ₀=2; в) х ₀ = ∞.
Решение. а) , .
Так как предел знаменателя отличен от нуля, можно применить теорему о пределе частного (свойство 4). Тогда
.
б) .
Имеем неопределенность вида , следовательно, теорему о пределе частного применить нельзя. Но в окрестности точки х =2 имеем 4 х ² – 9 х + 2 ≠ 0 (при х ≠ 2), и поэтому дробь можно сократить на х – 2. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители, воспользовавшись формулой ах ²+ bх + с = а (х – х ₁)(х – х ₂), где х ₁ и х ₂ – корни уравнения ах ² + bх + с = 0. Тогда

в) .
Имеем неопределенность вида . Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на х ², получим:

Ответ:
Пример. Найти .
Решение. и . Имеем неопределенность вида , теорему о пределе частного применять нельзя. Преобразуем данное выражение, помножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, получим:
=

Ответ: .