Колебания, возникающие в электрической цепи, содержащей R, L,C (рис.2), под действием внешней переменной электродвижущей силы , называются вынужденными.
|
|
Рис. 2
Вынужденные колебания в электрической цепи описываются уравнением (5)
(5)
где – циклическая частота переменной ЭДС, С-1.
Переменная ЭДС возбуждает в цепи переменный ток той же частоты , изменяющейся по закону
(6)
где – сдвиг по фазе между током и ЭДС
В общем случае ток и ЭДС в такой цепи по фазе не совпадают. Значения тока и сдвиг по фазе зависят от параметров цепи R, L, C.
Рассмотрим электрическую цепь (рис. 2), где R, L, C соединены последовательно с ЭДС. Выясним, как изменяется напряжения на каждом из участков R, L, C.
По закону Ома напряжение на участке R выразится формулой:
(7)
Из сравнения (6) и (7) видим, что напряжение на активном сопротивлении R и ток совпадает по фазе. На векторной диаграмме амплитудные значения этих величин откладываем вдоль одной прямой, рис.3.
|
|
Из формулы (7) ясно, что амплитудное значение напряжения , где R – активное сопротивление, определяющее необратимые затраты энергии на ленц – джоулево тепло (потребляет мощность).
Напряжение на катушке индуктивности L определяется по формуле
где – ЭДС самоиндукции В.
После дифференцирования (6) и замены функции синуса на косинус получим формулу (8)
(8)
Сравнивая (6) и (8) видим, что напряжение UL опережает ток по фазе на . На векторной диаграмме это выглядит так: (рис. 4)
|
Из формулы (8) запишем
(9)
где ULm – амплитудное значение напряжения;
– индуктивное сопротивление, которое определяет затраты энергии на возбуждение магнитного поля в катушке.
Напряжение на конденсаторе определяется по формуле
Учитывая (6) и то, что после интегрирования и перехода к функции косинуса получим формулу
(10)
где – амплитудное значение напряжения на конденсаторе (UCm);
– ёмкостное сопротивление, определяющее потери энергии на возбуждение электрического поля в конденсаторе.
Из (6) и (10) видно, что напряжение UC отстаёт от тока по фазе на . Векторная диаграмма для этого случая изображена на рис. 5.
Рис. 5
Сопротивления и называются реактивными, т.е. при их наличии энергия не расходуется на нагревание проводников.
В замкнутой цепи, изображенной на рис. 2, для каждого момента времени имеет место соотношение
(11)
Посмотрим (рис.6) векторную диаграмму сложения напряжений в цепи, учитывая сдвиг фаз между ними и током. Для этого выберем ось Х и под углом () к ней проводим прямую, на которой откладываем Im и URm.От этой прямой вверх под углом откладываем ULm, а вниз под углом откладываем UCm и производим сложение векторов ULm и UCm и URm.В результате сложения получим вектор .
|
|
Проекции векторов , Im, ULm, UCm и URm на ось Х представляют собой мгновенные значения этих величин. Взаимное расположение векторов, изображенное на рис.6, сохраняется для любого момента времени. Но в зависимости от соотношения между абсолютными значениями векторов ULm и UCm ток может отставать от ЭДС по фазе
Рис.6
(как на рис. 6), а может и опережать, если . Из ОАБ следует
После преобразования с учетом амплитудных значений величин ULm, UCm и URm получим формулу
(12)
Формула (12) является законом Ома для цепи переменного тока. Величина является сопротивлением цепи переменного тока, содержащей R, L, C соединенные последовательно. Из ОАБ (рис. 6) находим сдвиг по фазе между током и ЭДС по формуле
(13)