2015-02-04
785
Часто между переменными x и y существует связь, но не вполне определенная, при которой одному значению x соответствует совокупность (статистический ряд распределения) значений y. Такую связь называют регрессионной. Регрессия (корреляция) является признаком, указывающим на взаимосвязь ряда численных последовательностей.
Например, модуль упругости материала зависит от его температуры. Но выявить эту закономерность можно при наличии большого количества измерений, так как при исследованиях каждой отдельной парной связи в зависимости наблюдаются большие отклонения.
Под регрессионным анализом понимают исследование закономерностей связи явлений (процессов), зависящих от различных факторов.
Установить наличие и вид связи позволяет форма и теснота связи точек корреляционного поля. Корреляционное поле представляет собой совокупность точек отраженных на графике (рис.13). На рисунке 13, а видно, что эксперементальные данные имеют связь, а на рисунке 13, б связь отсутствует.
|
|
|
Различают однофакторные (парные) и многофакторные регрессионные зависимости. Парная регрессия характеризует взаимосвязь двух последовательностей xi и yi.
Парная регрессия может быть аппроксимирована прямой линией, параболой, гиперболой, логарифмической, степенной или показательной функцией, полиномом и др.
При построении теоретической регрессионной зависимости оптимальной является такая функция, отклонение которой от экспериментальных точек было бы минимальным, то есть функция, в которой соблюдается условие наименьших квадратов
.
где 
- ординаты поля; 
- ординаты регрессионной зависимости для 
; n – число парных измерений величин x и y.
Рассмотрим аппроксимацию полиномом степени m.
Условие наименьших квадратов для полинома примет следующий вид
Для нахождения коэффициентов 
, 
, 
, …, 
необходимо приравнять нулю все частные производные
………………………………………………………….
После перегруппировки членов система уравнений примет вид
…………………………………………………
Решение системы уравнений относительно , , , …, позволяет получить искомую теоретическую кривую. С целью упрощения модели и уменьшения объемов вычислений обычно ограничиваются полиномами второй и третей степени.
Для полинома первой степени коэффициенты a и b линейного уравнения регрессии 
определяются из системы уравнений
из решения системы уравнений следует
.
