2015-02-04
2554
Оглавление
1. Матрицы (определение) и действия над ними: сложение, умножение матрицы на число, транспонирование. Свойства этих операций. Установление равенства матрицы. Примеры.
2. Матрицы (определение) и действия над ними: умножение матрицы «строка на столбец». Элементарные преобразования матриц. Примеры.
3. Определители, их вычисление, свойства, применение (определения; способы вычисления определителей 2-го и 3-го порядка; алгебраические дополнения к элементам определителя). Примеры.
4. Ранг матрицы (определение). Операции, применяемые при вычислении ранга матрицы. Примеры.
5. Обратная матрица (определение). Достаточное условие существование обратной матрицы (с доказательством). Примеры.
6. Системы линейных алгебраических уравнений (определение). Определенные и вырожденные СЛАУ (определение количества базисных и свободных переменных). Решение СЛАУ (общая схема). Метод Гаусса. Примеры.
7. Системы линейных алгебраических уравнений. Определенные СЛАУ (достаточное условие единственности решения СЛАУ). Матричный метод и правило Крамера (с доказательством). Примеры.
|
|
|
8. Вектор (геометрическое и формальное определения). Отношения между векторами (равенство, коллинеарность, перпендикулярность, компланарность). Длина и направляющие косинусы вектора (их определение в координатном представлении, теорема о направляющих косинусах). Элементарные действия с векторами (сложение, умножение на число). Примеры.
9. Скалярное произведение векторов (определение, свойства и геометрический смысл). Угол между векторами, проекция вектора на направление, заданное другим вектором. Критерий перпендикулярности векторов. Примеры.
10. Векторное произведение векторов (определение, свойства и геометрический смысл). Определение площади параллелограмма и треугольника. Критерий коллинеарности векторов. Примеры.
11. Смешанное произведение векторов (определение, свойства и геометрический смысл). Определение объема параллелепипеда и тетраэдра. Критерий компланарности тройки векторов. Примеры.
12. Задача разложения вектора по базису, образованному некомпланарной тройкой векторов. Доказательство единственности такого разложения. Примеры.
13. Точка и отрезок в пространстве (длина отрезка; деление отрезка в заданном отношении). Примеры.
14. Уравнение плоскости (общее уравнение плоскости, способы задания плоскости – через точку и вектор нормали, через три точки, через отсекаемые от осей отрезки, соответствующие им формы уравнения плоскости и связи между ними; нормальное уравнение плоскости). Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Примеры.
|
|
|
15. Уравнения прямой в пространстве (способы задания прямой – через пересечение двух плоскостей, через точку и направляющий вектор(векторное, через параметр, соответствующие им формы уравнения прямой и связи между ними). Канонические уравнения прямой. Точка пересечений прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Примеры.
16. Уравнение прямой на плоскости с декартовой системой координат(виды уравнений прямой). Угловой коэффициент прямой. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Уравнение высоты и медианы угла в треугольнике. Примеры.
17. Эллипс на плоскости с декартовой системой координат (определение). Характеристики линии: полуоси, эксцентриситет. Каноническое уравнение эллипса с выводом. Качественное построение эллипса по каноническому уравнению. Примеры.
18. Гипербола на плоскости с декартовой системой координат (определение).Характеристики линии: полуоси, эксцентриситет. Канонические уравнения гипербол. Качественное построение гиперболы по каноническому уравнению. Примеры.
19. Парабола на плоскости с декартовой системой координат(определение). Уравнение параболы с выводом. Качественное построение гиперболы по уравнению. Примеры.
20. Полярная система координат и её связь с ДСК. Уравнение прямой и окружности, проходящей через полюс, в полярной системе координат(с выводом). Примеры.
21. Уравнения кардиоиды, лемнискаты Бернулли, спирали Архимеда, логарифмической и гиперболической спиралей в полярной системе координат. Примеры.
22. Кривые второго порядка на плоскости с полярной системой координат. Установление характеристик линий по уравнению в ПСК. Примеры.
23. Функция и её график, основные свойства (область определения, множество значений, монотонность, ограниченность, четность/нечетность и периодичность функций) и способы задания. Примеры.
24. Функция и её график, основные свойства (область определения, множество значений, монотонность, ограниченность, четность/нечетность и периодичность функций) и способы задания. Примеры.
25. Графики основных элементарных функций. Примеры.
26. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности (определение, сходящиеся и расходящиеся, ограниченные и неограниченные, монотонные последовательности). Примеры
27. Алгебраические свойства пределов последовательности. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности. Примеры.
28. Предел функции в точке. Односторонние пределы (определение, геометрический смысл, связь односторонних пределов функции в точке с пределом функции в этой точке). Примеры.
29. Предел функции «на бесконечности» (определения, геометрический смысл, алгебраические свойства пределов). Бесконечно большие и бесконечно малые (в точке и на бесконечности функции(определения). Примеры
30. Алгебраические свойства пределов функции (с доказательством). Примеры.
31. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (определения). Связь между бмф и ббф. Достаточные условия существования пределов. Примеры.
32. 1 замечательный предел (с доказательством). Примеры.
33. 2 замечательный предел (с доказательством). Примеры.
34. Эквивалентные бмф (с доказательством одной из теорем). Примеры.
35. Неопределенность при нахождении предела. Алгебраические приемы разрешения неопределенностей (виды неопределенностей; алгебраические преобразования, используемые для их нахождения). Примеры.
36. Непрерывность функции в точке и на отрезке (определения). Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши о непрерывных функциях. Примеры.
37. Непрерывность функции в точке и на отрезке (определения). Основные теоремы о непрерывных функциях. Примеры.
38. Непрерывность функции в точке и на отрезке (определения). Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши о непрерывных функциях. Примеры.
|
|
|
39. Разрывы функций (определение и классификация точек разрыва). Примеры.
40. Производная и дифференциал (определения; геометрический и физический смысл дифференциала). Дифференцируемость функций в точке и на интервале, её связь с непрерывностью. Примеры.
41. Таблица производных.
42. Арифметические действия над производными. (сумма/разность, произведение, частное – с одним доказательством.) Примеры.
43. Производная сложной функции, обратной функции; логарифмическое дифференцирование (с одним доказательством). Примеры.
44. Производная неявно заданной функции, параметрически заданной функцией (с одним доказательством). Примеры.
45. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши о дифференцируемых функциях (с одним доказательством).
46. Правило Лопиталя. Примеры.
47. Производные высших порядков. Теорема Тейлора. Примеры.
48. Приближенное вычисление приращения функции с помощью дифференциала. Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке. Примеры.
49. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции, экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Примеры.
50. Выпуклость функции, точки перегиба. Примеры.
51. Приближенное вычисление приращения функции с помощью дифференциала. Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке. Примеры.
1. Матрицы (определение) и действия над ними: сложение, умножение матрицы на число, транспонирование. Свойства этих операций. Установление равенства матрицы. Примеры.
1.Определение.
Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов.)
Действия над матрицами:
1) Сложение (ВЫЧИТАНИЕ)
Суммой A + B матриц Am × n =(aij) и Bm × n =(bij) называется матрица Cm × n =(cij), где cij = aij + bij для всех i = 
и j = 
Аналогичное определение вводят и для разности матриц:
Разностью A − B матриц Am × n =(aij) и Bm × n =(bij) называется матрица Cm × n =(cij), где cij = aij − bij для всех i = и j =
СВОЙСТВА:
Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера.
Пример:
Аналогично определяется разность матриц.
2) Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы A m×n=(aij) на число α называется матрица Bm × n =(bij), где bij = α ⋅ aij для всех i = и j = .
Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.
3) Транспонирование матрицы
Транспонированной по отношению к матрице Am × n =(aij) называется матрица A Тn x m =(aTij), для элементов которой aTij = aji.
Чтобы получить транспонированную матрицу AT, нужно в исходной матрице A заменить столбцы соответствующими строками: была первая строка – станет первый столбец; вторая строка – станет второй столбец и так далее. Например, матрице A 3×5:
|
|
|
4)Свойства над ними:
1. А + В = В + А; 5. 1 · А = А;
2. А + (В + С) = (А + В) + С; 6. α · (А + В) = αА + αВ;
3. А + 0 = А; 7. (α + β) · А = αА + αВ;
4. А – А = 0 8. α · (βА) = (αβ) · А,
Где А, В, С – матрицы, α и β – числа.
Установление равенства матриц.
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матрицы, т.е.
А = В, если aij = bij, где i = и j =
1. Матрицы (определение) и действия над ними: умножение матрицы «строка на столбец». Элементарные преобразования матриц. Примеры.
1.Определение.
Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов.)
Действия над матрицами:
1. Умножение матриц «строка на столбец».
Пусть 
– матрица-строка размера 1× n, и пусть – матрица-столбец размера n ×1. (Иначе говоря, пусть число элементов в строке матрицы A совпадает с числом элементов в столбце матрицы B.)
Тогда произведением AB называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих матричных элементов:
 
| (1) |
Формула (1) называется правилом умножения строки на столбец.
Пример 1.
Пусть 
и 
Тогда
,
и
