Матрицы композиции элементарных поворотов

Матрицы поворота вокруг одной координатной оси (матрицы элементарных поворотов).

Вектор

a^(uvw) = a_u i_u + a_v j_v + a_w k_w .

где

a_x, a_y, a_z - проекции вектора a^(xyz) на оси x, y, z,

i_x, j_y, k_z - орты осей СК {xyz},

a_u, a_v, a_w - проекции вектора a^(uvw) на оси u, ν, w,

i_u, j_v, k_w - орты осей СК {u ν w}.

Очевидно, что

a_x = i_x (a_u i_u + a_v j_v + a_w k_w)

a_y = j_y (a_u i_u + a_v j_v + a_w k_w)

a_z = k_z (a_u i_u + a_v j_v + a_w k_w)

или

| a_x a_y a_z |^T = | i_u i_x j_ν i_x k_w i_x | | a_u a_ν a_w |^T = t _{xyz, uvw} | a_u a_ν a_w |^T.

| i_u j_y j_ν j_y k_w j_y |

| i_u k_z j_ν k_z k_w k_z|

Матрицы t_xyz,uvw устанавливают соответствие между координатами одного и того же вектора a, но в различных СК. Из последнего выражения видно, что столбцы матрицы преобразования t_xyz,uvw есть проекции ортов i_u, j_v, k_w СК (uvw) на оси СК (xyz). Таким образом, столбцы этой матрицы определяют новые координаты ортов i_u, j_v, k_w повернутой СК (uvw) в исходной СК (xyz) после поворота СК (uvw) относительно СК СК (xyz). Поэтому матрицу t_xyz,uvw можно рассматривать как оператор поворота системы координат СК (uvw) относительно СК (xyz).

Пусть, как и прежде, в исходном положении СК (uvw) и СК (xyz) совпадают. Тогда координаты некоторого вектора а относительно СК (xyz), т.е. a^(xyz) и СК (uvw), т.е. a^(uvw), также совпадают. Пусть вектор a^(uvw) связан с СК (uvw). Как это было показано выше, оператор t_xyz,uvw осуществляет поворот СК (uvw) относительно СК (xyz). Тогда вектор a^(uvw) повернется вместе с СК (uvw). После такого поворота координаты вектора относительно СК (xyz) приобретут новые значения a^(xyz), т.е. это будут уже координаты повернутого вектора. В этом смысле матрицу t_xyz,uvw можно рассматривать как оператор поворота СК (uvw) вместе со связанным с ней вектором. Обращаясь к рис. 5, отметим, что в случае преобразования с матрицей t_xyz,uvw вектор а изображен в положении послеповорота.

Такми образом, матрицы t_xyz,uvw - операторы поворота СК (СК (uvw) относительно СК (xyz)) и связанных с ней, т.е. с СК (uvw), векторов.

В дальнейшем эти матрицы мы будем называть матрицами поворота.

Обратные преобразования устанавливаются из рассмотрения аналогичных соотношений, а именно:

a_u = i_u (a_x i_x + a_y j_y + a_z k_z),

a_ν = j_ν (a_x i_x + a_y j_y + a_z k_z),

a_w = k_w (a_x i_x + a_y j_y + a_z k_z)

или

| a_u a_ν a_w |^T = | i_u i_x i_u j_y i_u k_z | | a_x a_y a_z |^T = t _{uvw, xyz} | a_x a_y a_z |^T.

| j_ν i_x j_ν j_y j_ν k_z |

| k_w i_x k_w j_y k_w k_z|

Из сравнения двух последних равенств следует, что

t _{uvw, xyz} = t^-1 _{xyz, uvw} = t ^T _{xyz, uvw}

Матрица t _{uvw, xyz} преобразует координаты вектора, заданного в СК (xyz), в СК(uvw) при повороте системы координат СК(uvw) относительно СК (xyz). Отметим, что, как и прежде, рассматривается поворот именно СК(uvw) относительно СК (xyz), но не наоборот. При таком преобразовании вектор a остается неподвижным. Обращаясь к рис. 5, отметим, что в случае преобразования с матрицей t_xyz,uvw вектор а связан с неподвижной СК.

В силу того, что t _{uvw, xyz} матрица ортогонального ортонормированного преобразования, det t _{uvw, хyz} = 1. Именно +1, поскольку преобразование применяется по отношению к правым СК.

Получим выражения для расчета матриц поворота вокруг одной из осей.

А) поворот СК {uvw} вокруг оси x СК {xyz} (ось u СК {uvw}) на угол a (рис.1.6):

		v

		y

Рис.1.6. Поворот вокруг оси х

| i_u i_x j_ν i_x k_w i_x | | 1 0 0 |

t _{xyz, uvw} (ось х, угол a) = | i_u j_y j_ν j_y k_w j_y | = | 0 cos a - sina |.

| i_u k_z j_ν k_z k_w k_z| | 0 sina cosa |

Матрица обратного преобразования имеет вид

| 1 0 0 |

t _{uvw, xyz} (ось х, угол a) = | 0 cos a sina |.

| 0 - sina cosa |

В дальнейшем матрицу t_uvw,xyz(ось х, угол a) для краткости будем записывать так

t _{uvw, xyz} (ось х, угол a) = t _x (a);

Б) поворот СК {uvw} вокруг оси y СК {xyz} (ось v СК {uvw}) на угол b (Рис.1.7):

		w

		z

Рис.1.7. Поворот вокруг оси y

| i_u i_x j_ν i_x k_w i_x | | cosb 0 sinb |

t _{xyz, uvw} (ось y, угол b)= | i_u j_y j_ν j_y k_w j_y | = | 0 1 0 |

| i_u k_z j_ν k_z k_w k_z | | - sinb 0 cosb |

Матрица обратного преобразования

| cosb 0 - sinb |

t _{uvw, xyz,} (ось y, угол b) = | 0 1 0 |

| sinb 0 cosb |

Для краткости матрицe t _{uvw, xyz,} (ось y, угол b) будем записывать в виде

t _{uvw, xyz} (ось y, угол b) = t _y (b);

В) поворот СК {uvw} вокруг оси z СК {xyz} (ось w СК {uvw}) на угол ¡ (рис.1.8):

		u

		x

Рис.1.8. Поворот вокруг оси z

| i_u i_x j_ν i_x k_w i_x | | cosg - sing 0 |

t _{xyz, uvw} (ось z, угол g)= | i_u j_y j_ν j_y k_w j_y | = | sing cosg 0 |.

| i_u k_z j_ν k_z k_w k_z | | 0 0 1 |

Матрица обратного преобразования

| cosg sing 0 |

t _{uvw, xyz} (ось z, угол g) = | -sing cosg 0 |.

| 0 0 1 |

Для краткости матрицу t _{uvw, xyz} (ось z, угол g) будем записывать в виде

t _{uvw, xyz} (ось z, угол g) = t_z (g)

Любой пространственный поворот СК можно представить как композицию трех элементарных поворотов. Так например, если СК {uvw} образована в результаты выполнения трех последовательных поворотов относительно СК {xyz}: вначале – вокруг оси х (новую СК обозначим {uv`w`}), затем (после первого поворота) – вокруг оси v` (новую СК обозначим {u`v`w``}), затем (после двух первых поворотов – вокруг оси w`` - СК {u``v``w``}), то матрица композиции этих преобразований может быть получена путем перемножения матриц элементарных поворотов, так

t _{xyz, uvw} = t _{xyz, uvw} (СК {uvw}, ось u, угол a) t _{xyz, uvw} (СК {uvw}, ось v`, угол b) t _{xyz, uvw} (СК {uvw}, ось w``, угол g)

Отметим, что последовательность элементарных поворотов может быть различной (например: вначале v, затем u, затем w). Поэтому при определении матрицы композиции преобразований нужно указывать последовательность применения преобразований.

При написании последовательности операторов поворота учитываем, что осуществляются последовательные повороты СК {uvw} вместе с закреплённым с ней вектором относительно СК {xyz} в заданном порядке (ось u, ось v`, ось w``), но координаты векторов из СК {uvw} к СК {xyz} преобразуются в обратном порядке! Поэтому матрица первого поворота – самая первая слева (последнее преобразование вектора из СК {uvw} в СК {xyz}). Матрица последнего поворотоа – самая последняя слева (первое преобразование вектора из СК {uvw} в СК {xyz}).

Этот факт иллюстрирует рисунок 1.10. Зеленый цвет – последовательность поворотов СК. Синий – последовательность преобразований векторов, заданных координатами в подвижной СК, в неподвижную.

Рис. 1.10. Последовательности преобразований