Содержание лекции:
- аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.
Цель лекции:
- изучить на примере моделирования процессов в теплообменнике процедуру применения уравнения теплового баланса, а также эмпирических зависимостей.
Как отмечалось ранее, во многих практических случаях закономерности движения реального потока находятся на основе экспериментальных данных. Использование этих зависимостей позволяет отказаться от учета реальной трехмерности потока и одни уравнения упростить, а другие – исключить совсем. Такие упрощения допустимы, так как эмпирические зависимости в определенной мере отражают реальную трехмерность потока. В результате указанных посылок для расчета динамических характеристик можно использовать одномерную модель, а в некоторых случаях – и модель с сосредоточенными параметрами. Для иллюстрации сказанного, рассмотрим динамику процессов в теплообменнике.
Пример 7.1. Рассмотрим теплообменник с интенсивным смешиванием, в который поступает поток Q1 жидкости с температурой θ1(см. рисунок 7.1).
Среднее количество вещества в теплообменнике V. Из теплообменника вытекает поток Q2 с температурой θ2.
Количество вещества в теплообменнике постоянное: теплообменник герметично закрыт, то есть расход вещества восполняется входным потоком или, если вещество выталкивается какими-то силами, уровень в теплообменнике поддерживается другими автоматами.
Так как V=const, то Q1= Q2= Qс р.
Рисунок 7.1 - Теплообменник
Так как вещество интенсивно перемешивается, температура в объеме θ и температура выходного потока θ2 равны, т.е. θ = θ2.
Выведем уравнения модели теплообменника в предположении, что входная величина H1 - входной поток тепла, выходная величина θ2 – температура выходного потока. Изменение входной величины H1 может зависеть от изменения потока Q1, а также от его температуры.
В связи с этим рассмотрим следующие постепенно усложняющиеся ситуации:
а) теплообменник идеально изолирован, то есть нет теплообмена с окружающей средой.
При интенсивном смешивании, можно принять объект как объект с сосредоточенными параметрами и использовать следующее балансовое уравнение:
(7.1)
здесь ρ - плотность материала, т/м2;
С – теплоемкость материала стенок, Мкал/(т, град);
Hi - количество тепла, подводимое к теплообменнику за единицу времени (положительная величина) или отводимое от него (отрицательная величина).
Входной поток Q1 соответствует количеству подводимого тепла
H1= ρ·с ·θ1 ·Q1. (7.2)
C потоком Q2 теряется выходное количество тепла
H2= ρ·с ·θ2 ·Q2. (7.3)
Подставив H1 и H2 в уравнение теплового баланса, получим
(7.4)
или
,
.
Имея в виду, что θ = θ2, получим:
или
здесь - постоянная времени, час;
- коэффициент передачи, град*час/Мкал;
б) есть теплообмен с окружающей средой по закону
H3 = h·S· (θ – θc), (7.5)
здесь h - коэффициент теплопередачи, Мкал/(час, м2, град), S - поверхность теплообменника, м2, θc - температура внешней среды, 0С.
В этом случае балансовое уравнение имеет вид:
(7.6)
После преобразований:
(7.7)
.
Окончательно получим:
. (7.8)
Здесь , .
По сравнению со случаем а) постоянная времени Т уменьшилась, так как величина всегда положительная.
Если температура внешней среды постоянная, переместив начало координат температуры в точку θc, член можно убрать, в противном случае θc можно рассматривать как внешнее воздействие;
в) надо принять во внимание толщину стенок теплообменника, поэтому надо учитывать теплоемкость стенок.
Поток тепла из объема V на стенки H31 =hм ·S· (θ – θм),
здесь hм – коэффициент теплопередачи от потока к стенкам;
θм - температура стенок.
Поток тепла от стенок во внешнюю среду
H4= hc·S·(θM - θ2),
здесь hc – коэффициент теплопередачи от стенок в окружающую среду.
Поскольку стенки теплообменника обладают теплоемкостью, запишем два уравнения (для потока и для стенок):
(7.9)
. (7.10)
Избавимся от промежуточной переменной θм.
Для этого, имея ввиду, что θ = θ2, Q2 = Qср, выразим θм из первого уравнения:
(7.11)
и подставим это выражение во второе уравнение: (7.12)
После преобразований получим:
(7.13)
Выходная величина - θ1, входные величины - H и θс.
Если θс = const, переместив начало координат в точку θс, можно избавиться от членов с величиной θс. Тогда останутся переменные Q и H1 и последнее уравнение можно записать в виде
(7.14)
где ai и bi определяют коэффициенты модели.
Получили уравнение второго порядка, так как в объекте есть две сосредоточенные емкости: область теплообменника и область стенок.