10. Дифференциал и его геометрический смысл
Рассмотрим функцию , которая определена и непрерывна в точке и некоторой ее окрестности и дифференцируема в точке .
Функция дифференцируема, следовательно, существует ее производная
.
По теореме 1 § 11 имеем:
,
где – б/м функция при , следовательно,
,
где – б/м функция при (), большего порядка малости, чем . Таким образом, получили:
. (1)
Рассмотрим:
,
следовательно, функция сильнее стремится к нулю. Основной вклад в разложение (1) делает первое слагаемое.
– главная часть разложения приращения функции по .
Пусть приращение функции представимо в виде:
, (2)
где – б/м функция при (), большего порядка малости, чем . Покажем, что функция в этом случае дифференцируема. Действительно:
(т.к. стремится к нулю быстрее, чем ), следовательно, существует производная
.
Если функция представима в виде (2), то говорят, что функция дифференцируема.
Определение. Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента и отличающаяся от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка чем .
|
|
Дифференциал функции обозначается через или .
Необходимым и достаточным условием существования дифференциала функции в точке служит существование ее производной в этой точке, и тогда
.
Определение. Приращение независимой переменой называют ее дифференциалом , т.е.
.
Таким образом,
Дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал независимой переменной, т.е.
.
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию дифференциала функции (рис. 21). Т.к. , то дифференциал измеряет отрезок .
Дифференциал функции в точке численно равен приращению ординаты касательной, построенной к графику функции в точке , соответствующему изменению аргумента от значения до значения .
Приращение функции изображается приращением ординаты точки линии (отрезок ). Поэтому разность между дифференциалом и приращением изображается отрезком , заключенным между линией и касательной к ней; длина этого отрезка является при бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем длина отрезка .
20. Свойства дифференциала функции
1)
.
Таким образом,
.
2)
.
Таким образом,
.
3)
.
Таким образом,
.
30. Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности
Рассмотрим свойство дифференциала функции, вытекающее из правила дифференциала сложной функции.
Пусть и – непрерывные функции своих аргументов, имеющие производные по этим аргументам и . Если обозначить , то . Умножая обе части уравнения на , получим:
,
но , и значит,
|
|
,
т.е. дифференциал имеет такой же вид, как если бы величина была бы независимой переменной.
Дифференциал функции сохраняет одно и то же выражение, независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или функцией от независимой переменной.
Это свойство называется инвариантностью (т.е. неизменностью) формы дифференциала.
40. Приближенное вычисление с помощью дифференциала
Пусть в точке производная функции отлична от нуля: . Тогда
,
где – б/м величина при более высокого порядка, чем .Но при указанном условии она будет б/м величиной более высокого порядка и чем и . Действительно, при имеем:
,
ибо , а . Значит, и отличаются друг от друга на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем они сами, и, следовательно, они эквивалентны:
.
Отсюда получаем приближенную формулу вычисления:
, , следовательно,
. (3)
Формула (3) называется формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала.
Пример 1. Вычислить приближенно .
Решение. Имеем: , , . Тогда:
.
Пример 2. Вычислить приближенно .
Решение. Имеем: , , . Тогда:
.
, , следовательно,
.
50. Дифференциалы высших порядков
Пусть дана дифференцируемая функция . Тогда .
Определение. Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от функции : .
Аналогично:
Дифференциалом -го порядка называется дифференциал от дифференциала -го порядка как функции : .
Найдем выражение второго дифференциала функции . Т.к. не зависит от , то при дифференцировании считаем постоянным:
.
Аналогично: .
Отсюда находим, что .