Теорема. Үзіліссіз функциялардың кейбір қасиеттері

1) егер функциясы үшін нүктесінің маңайында теңсіздігі орындалып, ал функциясы үшін болса, онда ;

2) егер болса, онда .

Салдар. Егер болса, онда .

3. Шегі бар функциялардың қасиеттері

6- теорема. Егер функциясының нүктесінде нақты мәнді шегі бар болса, онда:

1) нүктесінің ойылған маңайында функциясы шенелген;

2) егер болса, онда функцияның мәндері де нүктесінің ойылған маңайында болады. Нақтырақ айтқанда, үшін егер болса, онда , ал егер болса, онда ;

3) егер үшін және , болса, онда ;

4) егер үшін және , болса, онда ;

5) егер , болса, онда ;

6) егер , болса, онда:

а) , б) , с) , d) егер с¹ 0 болса, онда болады.

Ескерту. а) мен с) теңдіктері екі функция үшін ғана емес, кез келген ақырлы қосынды мен көбейтінді үшін де о р ындалады.

4. Тамаша шектер. Бiрiншi тамаша шек

Екiншi тамаша шек немесе .

5. Функциялардың үзіліссіздігі мен үзілуі

Анықтама. Егер кез келген саны бойынша саны табылып, , теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалатын болса, онда функциясын нүктесінде үзіліссіз деп атайды. Яғни,

(2).

Кванторлар тілінде функциясының нүктесінде үзіліссіздігі былай жазылады:

Жоғарыда берілген анықтамадан, функциясының нүктеде үзіліссіздігі келесі үш шарттың орындалуын білдіреді:

1) функциясы нүктесінде және оның қандай да бір маңайында анықталған;

2) функциясының нүктесінде шегі бар;

3) функциясының нүктесіндегі шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең.

болғандықтан, үзіліссіздіктің анықтамасындағы (2)-теңдікті былай да жазуға болады.

Демек, үзіліссіздікті шек таңбасы «lim» пен функция белгісі - ті өзара орын ауыстыру мүмкіндігі деп те анықтауға болады.

(2) - теңдікті - ді теңдіктің сол жағына шек таңбасының астына көшіріп, болса екендігін ескеріп,

(3)

түрінде жаза аламыз. Мұндағы, айырымын аргументтің өсімшесі, ал айырымын функцияның өсімшесі деп атайды.

Егер арқылы белгілесек, онда болса болатындықтан (3) - ті келесідей жаза аламыз:

(4)

«Өсімше» терминін қолданып, үзіліссіздіктің анықтамасын былай айтуға болады: егер тәуелсіз айнымалының нүктедегі өсімшесі нөлге ұмтылғанда, оған сәйкес функциясының өсімшесі нөлге ұмтылса, онда функциясын нүктесінде үзіліссіз деп атайды.

Мысалы, функциясы үшін үзілліссіз.

Шынында да,

болғандықтан . Демек, функциясы кез-келген нүктесінде үзіліссіз.

Егер болса, онда функциясын нүктесінде оң жақты үзіліссіз деп атайды;

егер болса, онда функциясын нүктесінде сол жақты үзіліссіз деп атайды.

Егер функциясының анықталу аралығы сегменті болса, онда функциясының нүктесінде тек қана оң жақты, ал нүктесінде тек қана сол жақты үзіліссіздігі туралы айтуға болады.

Үзіліссіз функциялардың кейбір қасиеттері

7-теорема. Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, онда нүктесінің қандай да бір маңайында:

1) функциясышенелген;

2) . Нақтырақ айтқанда, егер болса, онда , ал егер болса, онда ;

3) егер және функциялары нүктесінде үзіліссіз болса, онда және функциялары да сол нүктелерде үзіліссіз;

4) егер функциясы нүктесінде, ал функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, онда күрделі функциясы нүктесінде үзіліссіз болады.

Анықтама. Егер функциясы нүктесінде анықталмаса немесе нүктесі анықталу жиынында жатып, сол нүктеде үзіліссіз болмаса, онда нүктесін -тің үзіліс нүктесі деп атап, -ті нүктесінде үзіледі дейді.

Анықтама. Егер нүктесі функциясының үзіліс нүктесі болып, сол нүктеде біржақты ақырлы шектері

,

бар болса, онда функциясы нүктесінде жай немесе бірінші түрдегі үзілісті дейді.

санын функциясының нүктесіндегі секірмесі деп атайды.

Егер болса онда - ді жөнделетін үзіліс нүктесі деп атайды.

Егер функциясы нүктесінде үзілісті болып, бірақ үзілісі бірінші түрдегі үзіліс болмаса, дәлірек айтқанда, нүктесінде - тің кемінде бір біржақты ақырлы шегі болмаса, онда функциясын нүктесінде күрделі немесе екіншітүрдегі үзілісті дейді.

Сонымен, функциясы нүктесінде үзіліссіз болуы үшін , , сандарының мағыналы болып, олардың өзара тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни .

Мысалдар. 1. функциясын нүктесінде үзіліссіздікке зерттеңіз.

Шешуі. , .

Функцияның нүктесіндегі біржақты шектері ақырлы, бірақ өзара тең емес. Демек, бірінші түрдегі үзіліс нүктесі.

2. функция нүктесінде анықталмаған. Осы нүктедегі үзілісті зерттеңіз.

Шешуі. , болғандықтан, нүктесіекіншітүрдегі үзіліс нүктесі.

Негізгі элементар функциялар өздерінің анықталу жиынында үзіліссіз.

Кесіндіде үзіліссіз функциялар

Анықтама. кесіндісінің әрбір нүктесінде үзіліссіз функциясын кесіндіде үзіліссіз функция дейді.

Басқа аралықтарда үзіліссіз функция да осы сияқты анықталады.

8-теорема (Вейерштрасстың бірінші теоремасы). Егер функциясы кесіндіде анықталған және үзіліссіз болса, онда оның мәндерінің жиыны шенелген жиын болады.

9-теорема (Вейерштрасстың екінші теоремасы). Егер функциясы кесіндіде анықталған және үзіліссіз болса, онда осы кесіндіде ол ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды.

10-теорема (Больцано-Коши). Егер функциясы сегментінде үзіліссіз болып, сегменттің ұштарындағы мәндері , болса, онда мен - ның арасында жатқан кез келген үшін теңдігін қанағаттандыратын кемінде бір нүктесі табылады.

Мысалдар. 1. Берілген өрнек түріндегі анықталмағандық. болғанда алымы мен бөлімі нөлге тең болатындықтан, олар -ға бөлінеді. Сондықтан,

2. Берілген шекті есептеу үшін және формулаларына сүйенеміз. Бөлшектің алымы мен бөлімін және өрнектеріне көбейтіп, ортақ көбейткішке қысқартамыз. Сонда,

.

3. Берілген өрнек түріндегі анықталмағандық. қосындысына көбейтсек және бөлсек, онда

4. Берілген өрнек түріндегі анықталмағандық. деп белгілесек, онда . Бірінші тамаша шекті ескерсек, келесідей болады:

5. функциясы үшін үзілліссіз.

Шынында да, болғандықтан . Демек, функциясы кез-келген нүктесінде үзіліссіз.

6. tg x функциясы өзінің анықталу жиынында үзіліссіз, яғни барлық (n=0, ±1, …) сандары үшін мына теңдік = дұрыс.

Әрине, әрбір есепті шығарғанда шығармашылық танытып әртүрлі әдістерді аралас қолдануға болады.

Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеулері

Туынды үғымы - дифференциалдық есептеулерде ең негізгі ұғымдардың бірі болып санадады.

Анықтама. функциясы аралығында анықталсын. Егер үшін

нақты мәнді шегі бар болса, онда функциясын нүктесінде дифференциалданады, ал шектің мәнін функциясының нүктесіндегі туындысы дейді де, символымен белгілейді.

Сонымен,

Туындының анықтамасын шекті белгілейтін символдарды қолданып келесідей жазуға болады:

1°. , 2°. , 3°. , 4°. .

Соңғы екі жазуда , немесе , белгілеулері қолданылған.

-ті функция аргументінің немесе тәуелсіз айнымалының өсімшесі, ал -ті функцияның өсімшесі деп атайды.

Туындының мынадай белгіленулері бар:

немесе ,: немесе , немесе

Бұл символдар былай оқылады: – игрек штрих, – эф штрих икс ноль, – дэ икс бойынша дэ эф, – дэ икс бойынша дэ игрек, – дэ эф икс ноль; – дэ игрек.

1-теорема. Егер функциясының нүктесінде туындысы бар болса, онда сол нүктеде үзіліссіз болады.

1-теоремаға кері теорема дұрыс емес: егер функциясы нүктесінде үзіліссіз болса оның сол нүктеде туындысы әрқашанда бола бермейді. Демек, функция нүктесінде үзіліссіз бола тұрып, ол нүктеде дифференциалдануы да, дифференциалданбауы да мүмкін.

Мысалы, функциясының нүктесінде үзіліссіз, оң және сол жақты туындылары бар болады да, бірақ жай (екі жақты) туындысы болмайды.

Салдар. Егер нүктесі функциясының үзіліс нүктесі болса, онда сол нүктеде – тің ақырлы туындысы болмайды.

2. Дифференциалдау ережелері

2-теорема. және функциялары сегментінде анықталып, нүктесінде дифференциалдансын. Онда ( -нақты сан), , , , функциялары да нүктесінде дифференциалданып, келесі теңдіктер (дифференциалдау ережелері) орындалады:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. .

3. Күрделі, кері және параметр арқылы берілген функцияның туындысы

3-теорема (күрделі функцияның туындысы). Егер функциясының нүктесінде, ал функциясының сол -ге сәйкес нүктесінде туындысы бар болса, онда күрделі функциясының нүктесінде туындысы бар болып, болады.

Күрделі функцияның туындысын, есте сақталуы өте жеңіл болатын

немесе

түрінде де жазуға болады.

4-теорема ( кері функцияның туындысы). Егер функциясы сегментінде үзіліссіз және қатаң монотонды болып, нүктесінде нөлге тең емес туындысы бар болса, онда кері функциясының да нүктесінде туындысы бар болып,

(4.3)

теңдігі орындалады.

(4.3) - формуланы немесе түрінде де жазады.

Параметр арқылы берілген функцияның туындысы

және функциялары нүктесінің маңайында анықталып, олардың біреуінің, мысалы функциясының қарастырылып отырған маңайда кері функциясы бар болсын. Онда күрделі функциясын , теңдеулерімен параметр арқылы берілген функция деп ал, -ны параметр деп атайды.

Мысалы, және функциясы, болғанда функциясының параметр арқылы берілуі.

5-теорема. Егер және функцияларының нүктесінде туындылары бар және болса, ондапараметр арқылы берілген функциясының нүктесінде туындысы бар және

(4.6)

болады.

(4.6)- формуланы келесі түрде де жазуға болады:

Мысалы, параметр арқылы берілген функцияның туындысын табайық.

болғандықтан, (4.6)- формула бойынша болады.

Гиперболалық функциялардың туындылары

.

Дәрежелі-көрсеткіштік функцияның туындысы

дәрежелі-көрсеткіштік функцияның туындысын табайық. Мұндағы, және функцияларының нүктесінде туындысы бар және функциясы - тің белгілі бір маңайында оң деп ұйғарамыз.

-ті анықтайтын өрнектің екі жағын да логарифмдесек болады. Соңғы теңдіктің екі жағын да дифференциалдайық:

Бұдан екенін ескере отырып,

(4.10)

формуласына келеміз.

Мысалы, болсын. Онда болады, демек, (4.10) бойынша .

5. Функцияның дифференциалы

функциясының нүктесінде туындысы бар болсын. Онда, туындының анықтамасы бойынша

.

Шектің қасиеті бойынша келесі теңдікті аламыз:

(4.11)

мұнда — нүктесіндегі аргументтің өсімшесі -ке сәкес функцияның өсімшесі.

(4.11)-ден

(4.12)

Сонымен, егер функциясының нүктесінде нөлге тең емес туындысы бар болса, онда функцияның сол нүктедегі өсімшесі екі қосылғыштан тұрады. (4.12) формуладағы бірініші қосылғыш -ке қатысты сызықты және болғанда шексіз аз шама. Осы формуладағы екінші қосылғыш та болғанда шексіз аз шама.

Анықтама. функциясының нүктесінде туындысы бар болса, онда көбейтіндісін функциясының нүктесіндегі дифференциалы деп атап, оны немесе арқылы белгілейді.

Сонымен,

Тәуелсіз айнымалы х - тің өсімшесін арқылы белгілеп, оны тәуелсіз айнымалының дифференциалы деп атайды. Дифференциалды

немесе

түрінде жазуға болады.

Функцияның нүктедегі дифференциалы, сол нүктеде туындысының бар болуымен байланысты.

Сонымен, дифференциал — -ке қатысты сызықты функция, ал оның коэффициенті функциясының нүктесіндегі туындысы болады.

Мысалы, функциясының дифференциалы болғандықтан, .

Дифференциал — туынды мен - тәуелсіз айнымалының көбейтіндісі болғандықтан, негізгі элементар функциялардың дифференциалдары мен дифференциалды табу ережелері туындылар үшін дәлелденген сәйкес формулалар мен ережелерден шығады.

,

.

Функция дифференциалының функция өсімшесі -тен айрмашылығы шамасына тең. Сондықтан, жуықтап есептеулерде жуық теңдігін пайдаланады. Осыдан

(4.13)

Мысалы, есептеу үшін функциясын қарастырамыз. Осы функция үшін (4.13) формула келесідей болады:

Осы формулаға және мәндерін қойсақ, онда

Мысалдар. 1. функциясының туындысын табыңыз.

Шешуі. болғандықтан,

2. функциясының туындысын табыңыз.

Шешуі.

3. функциясының туындысын табыңыз.

Шешуі.

4. функциясының туындысын табыңыз.

Шешуі. Көбейтіндінің туындысы мен күрделі функцияның туындысын табу ережелерін қолданамыз (4.2 және 4.3-теоремалар). Сонда,

6. Жоғары ретті туындылар

функциясы аралығында дифференциалдансын. Онда әрбір санына нақты санын сәйкес қоятын ереже функция болады. Ол немесе символдарымен белгіленеді. Әрине, функциясының нүктесінде туындысы бар болуы туралы сұрақ қоюға болады (келісім бойынша «туынды» деген сөзді «ақырлы туынды» мағынасында түсіну керек екенін еске саламыз).

Егер функциясы нүктесінде дифференциалданса, яғни нақты мәнді шегі бар болса, онда сол шекті функциясының нүктесіндегі екінші ретті туындысы деп атайды да, символымен белгілейді.

Егер аралығының әрбір нүктесінде функциясының екінші ретті туындысы бар болса, онда функциясы аралығында екі рет дифференциалданады немесе екінші ретті туындысы бар дейді.

Индукция бойынша бұл анықтамалар кез келген оң бүтін жағдайына таратылады:

функциясын символымен белгілеген кейде ыңғайлы болады.

функциясын функциясының -ші ретті туындысы деп атайды.

функциясының нүктесіндегі ретті туындысы

символдарының бірімен белгіленеді (оқылуы сәйкес « -ші эф икс», «дэ эн икс бойынша дэ эн эф», «дэ эн эф икс»).

Кейде бұл символарды функциясының өзін де белгілеу үшін қолданады.

Екінші ретті туындының механикалық мағынасын атап өтейік.

Егер нүктенің қозғалысы функциясымен бейнеленсе, онда сол нүк те қозғалысының «жылдамдығын» бейнелейді. Ал, қарастырылып отырылған нүкте қозғалысының «жылдамдығының жылдамдығын», яғни қозғалыстың үдеуін бейнелейді.