Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Опр.: Нормалью к плоскости называется вектор, перпендикулярный к данной плоскости.

Пусть необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной вектору .

Предположим, что такая плоскость построена, возьмем на ней произвольную точку М(x,y,z). Составим вектор . Вектор перпендикулярен вектору , следовательно, их скалярное произведение равно нулю: , это условие имеет вид::

Данный способ задания плоскости называется плоскость по точке М ( и нормали . Имея уравнение плоскости в общем виде: Ax+ By+ Cz+ D=0, можно выписать нормаль к плоскости .

Пример: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1,2,-3), параллельно плоскости 3x-4y+5z-2=0

Решение: Выпишем нормаль к плоскости, т.е. вектор перпендикулярный плоскости: . Так как необходимо построить плоскость параллельную данной, то можно использовать вектор в качестве нормали к искомой плоскости. Составляем уравнение плоскости по точке А и нормали : после преобразования получим: 3x-4y+5z+20=0

Ответ: 3x-4y+5z+20=0.