Правые и левые тройки векторов

Определение. Вектор называют параллельным данной плоскости, если прямая, на которой расположен вектор , параллельна этой плоскости.

Определение. Три вектора называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или существует плоскость, которой они параллельны.

Из определения, очевидно, что если два из трех рассматриваемых векторов коллинеарны, то эти три вектора компланарны.

Определение. Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из этих векторов − первый, какой − второй и какой − третий.

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если по отношению к наблюдателю, стоящему по направлению третьего вектора , угол между первым вектором и вторым вектором , отсчитываемый в положительном направлении, меньше .

На приведенном рисунке для угла между векторами и по отношению к наблюдателю, расположенному по направлению вектора , справедливо неравенство

.

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левой, если по отношению к наблюдателю, стоящему по направлению третьего вектора , угол между первым вектором и вторым вектором , отсчитываемый в положительном направлении, больше .

На приведенном рисунке для угла между векторами и по отношению к наблюдателю, расположенному по направлению вектора , справедливо неравенство

.

Отметим, что понятия правой и левой тройки векторов не вводятся для тройки компланарных векторов.

Определение. Две тройки некомпланарных векторов называются тройками одинаковой ориентации, если они обе являются, либо правыми, либо левыми.

Определение. Две тройки некомпланарных векторов называются тройками противоположной ориентации, если одна из них является правой, а другая - левой.

Всего из трех некомпланарных векторов можно составить шесть различных троек:

; ; (1)

; ; (2)

Нетрудно проверить, что все тройки (1) являются тройками одинаковой ориентации и все тройки (2) также являются тройками одинаковой ориентации, но любая из троек (1) имеет ориентацию, противоположную ориентации любой из троек (2).