Модели переменных состояния в Matlab

Формирование моделей объектов в переменных состояния:

● по известным матрицам A,B,C,D: sys_ss=ss(A,B,C,D);

● по передаточной функции объекта: sys_ss=ss(Wtf).

Формирование передаточной функции объекта по его модели в пространстве состояний: Wtf=ss(sys_ss).

Определение переходной матрицы состояния:

● при заданном шаге дискретности по времени используется функция expm:

Пример A=[0 -2;1 -3];

dt=0.2;

Phi=expm(A*dt)

Phi =

0.9671 -0.2968

0.1484 0.5219

.

● с использованием операторов Pmp=inv(p*I-A) и Pmt= ilaplace(Pmp).

Определение временных характеристик:

● путём использования функции [y,T,x]=lsim(sys,u,t,x0);

Пример:

A=[0 -2;1 -3];

B=[2;0];

C=[1 0];

D=[0];

sys=ss(A,B,C,D);

x0=[1 0];

t=[0:0.01:8];

u=0*t;

[y,T,x]=lsim(sys,u,t,x0);

subplot(211),plot(T,x(:,1))

xlabel('Время(с)'),ylabel('X_1')

subplot(212),plot(T,x(:,2))

xlabel('Время(с)'),ylabel('X_2')

● с использованием оператора step(sysss);

Пример:

A=[0 -2;1 -3];

B=[2;0];

C=[1 0];

D=[0];

sysss=ss(A,B,C,D);

step(sysss)

● путём использования оператора dsolve;

Пример

Рассмотрим систему, передаточная функция которой имеет вид:

.

Уравнения состояния и выхода системы:

, .

1. Вычисление переходной функции:

S=dsolve('Dx1=-3*x1+x2,Dx2=-2*x1+1,x1(0)=0,x2(0)=0')

S.x1

S.x2

S =

x1: [1x1 sym]

x2: [1x1 sym]

ans =

1/2*exp(-2*t)-exp(-t)+1/2 - переходная функция

ans =

3/2+1/2*exp(-2*t)-2*exp(-t)

1. Определение матрицы перехода:

Матрица перехода определяет решение дифференциального уравнения

,

.

S=dsolve('Dx1=-3*x1+x2,Dx2=-2*x1,x1(0)=x10,x2(0)=x20')

S.x1

S.x2

S =

x1: [1x1 sym]

x2: [1x1 sym]

ans =

exp(-2*t)*(2*x10-x20)+1/2*exp(-t)*(-2*x10+2*x20)

ans =

exp(-2*t)*(2*x10-x20)+exp(-t)*(-2*x10+2*x20)

Матрица перехода имеет вид:

.

Литература (метод пространства состояний)

1. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Мир, 1970.
2. Справочник по теории автоматического управления/Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987.
3. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир,1975.