Определение матрицы перехода методом разложения в бесконечный ряд

Один из методов решения дифференциального уравнения заключается в следующем. Считают, что решение имеет вид бесконечного ряда с неизвестными коэффициентами. Этот ряд подставляют в дифференциальное уравнение и таким образом определяют неизвестные коэффициенты. Воспользуемся данным методом для нахождения матрицы перехода. В предположении, что все входные переменные системы равны нулю, уравнение состояния принимает вид

, (1)

а его решение

. (2)

Поскольку искомым является вектор , представим его в виде ряда:

, (3)

где все матрицы размерности считаются неизвестными, а - скалярная переменная (время).

Дифференцируя это выражение, получим:

. (4)

Подставим (3) и (4) в (1):

. (5)

Далее выполним следующие операции. Сначала вычислим (5) при . Затем продифференцируем (5) и найдём результат при . Ещё раз продифференцируем выражение и подставим . Повторяя эти действия, каждый раз будем получать уравнение относительно неизвестных матриц .

В итоге образуется система уравнений:

(6)

Вычисление (3) при даёт результат . Тогда другие матрицы определяются из

уравнений (6):

(7)

Следовательно, матрица перехода, представленная в (3) в виде бесконечного ряда, может быть записана как

, (8)

который сходится для всех конечных и любой .

Сравнивая это выражение с разложением в ряд Тейлора скалярной экспоненты

, (9)

приходим к выводу, что матрицу перехода можно представить как экспоненциальную функцию матрицы :

.