Линии тока и траектории

Методу Лагранжа отвечает понятие траекторий частиц. Траектория представляет собой линию, изображающую путь, пройденный в пространстве частицей за некоторый отрезок времени.

Методу Эйлера соответствует понятие линий тока жидкости. Рассмотрим в момент времени t поле скоростей потока жидкости. Общую картину течения можно получить, если провести в потоке движущейся жидкости линии, совпадающие с направлением вектора скорости. Пусть вектор скорости в некоторой точке 1 пространства равен (рис. 2.1). В этот же момент t в другой точке 2, расположенной на векторе и очень близкой к точке 1, вектор скорости равен , и т. д. В результате такого построения получаем ломаную линию 1 – 2 – 3 – 4 – 5 …, обладающую тем свойством, что вектор скорости, соответствующий начальной точки каждого звена, направлен вдоль этого звена. Устремив к нулю длину каждого отрезка, получаем кривую, называемую линией тока. Линиятока – мгновенная линия, вдоль которой в данный момент времени двигается совокупность частиц.

Если движение неустановившееся, то в следующий момент времени скорость в точке 1 отлична от предыдущего значения. Поэтому, проводя дальнейшие рассуждения и построения, аналогичные предыдущим, придем к иной кривой (к другой линии тока).

Линией тока называется линия, касательная к каждой точке которой совпадает по направлению с вектором скорости в данный момент времени.

Если – элемент линии тока, то из условия, что на линии тока ║ , можно записать следующие уравнения:

(2.5)

которые являются дифференциальными уравнениями линий тока.

Семейство линий тока дает картину течения в данный момент времени, можно сказать, моментальный снимок направлений скоростей потока.

Через каждую точку пространства может проходить множество траекторий частиц, они могут пересекаться и пересекать сами себя.

Линии тока не пересекаются ни сами с собой, ни с другими линиями тока, так как вектор скорости в одной точке пространства не может иметь два разных значения в данный момент времени. Исключение составляют лишь особые точки, в которых скорость V = 0 (критические точки или точки торможения) или V = ∞ (исток, сток). Критическая точка – точка потока, в которой вектор скорости равен нулю, т. е. одновременно . Для системы уравнений линий тока (2.5) эта точка является особой, в ней может нарушаться теорема единственности решения. Через критическую точку может проходить несколько и даже бесконечно много линий тока. Аналогичный вывод можно получить для источника и стока. Для этих кинематических образов значение скорости в их центрах обращается в бесконечность. Следовательно, и они являются особыми точками для системы уравнений (2.5).

Необходимо четко представлять разницу между линией тока и траекторией движения частицы. Если траектория отражает изменение положения частицы с течением времени, то линия тока указывает направление скоростей разных частиц в один и тот же момент времени. И только при установившемся движении линия тока совпадает с траекторией частицы. В этом случае траектории всех частиц, проходящих через какую-либо точку пространства, будут одинаковыми, следовательно, в каждый момент времени все частицы, которые лежат на траектории, будут образовывать и линию тока. В случае неустановившегося движения линии тока и траектория частицы не совпадают.

Уравнения траектории следующие:

Поверхность тока – поверхность, построенная для фиксированного момента времени, в каждой точке которой вектор скорости лежит в касательной плоскости. Если выделить в движущейся жидкости некоторый бесконечно малый замкнутый контур, через каждую точку которого можно провести линию тока, то совокупность всех линий тока образует замкнутую поверхность – трубку тока (рис. 2.2). Жидкость, движущуюся внутри трубки тока, называют элементарной струйкой.

Трубка тока – простой и наглядный кинематический образ. Разбив весь поток на достаточно узкие трубки тока, можно, пользуясь основным свойством трубки – непроницаемостью ее боковой поверхности, изучать бесконечно малые перемещения выделенного объема жидкости. Между двумя произвольными линиями тока количество протекающей жидкости постоянно, поскольку вектор скорости лежит в касательной плоскости к поверхности трубки тока. То же самое можно сказать и о трубке тока: расход жидкости через любое сечение трубки тока одинаков.