Уравнением в полных дифференциалах называется дифференциальное уравнение
P (x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (12.26)
левая часть которого есть полный дифференциал некоторой функции:
P (x,y)dx + Q (x,y)dy = du(x,y). (12.27)
Уравнение (12.26) с учетом (12.27) можно записать так:
du(x,y) = 0, (12.28)
поэтому его общий интеграл имеет вид
u(x,y) = C. (12.29)
Функция u(x,y) может быть найдена из системы уравнений:
(12.30)
Равенство
является необходимым и достаточным условием того, что левая часть уравнения (12.26) есть полный дифференциал некоторой функции.
1. Проинтегрировать уравнение
y3 - 2xy)dx + (3xy2 - x2)dy = 0.
Это уравнение вида (12.26), для которого
P(x,y) = y3-2xy, Q(x,y) = 3xy2-x2.
Находя соответствующие частные производные, получим:
откуда
Следовательно, левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции u(x,y):
т.е.
(A)
Интегрируем по х первое из уравнений (A), считая у постоянным, при этом вместо постоянной интегрирования надо поставить φ (y) - неизвестную функцию от у:
Дифференцируя функцию u(x,y) по у, получим
Но
поэтому
3xy2 - x2 + φ'(y) = 3xy2 - x2,
откуда
φ'(y) = 0 и φ(y) = C1.
Таким образом, u(x,y) = y3x - yx2 + C1.
С другой стороны, по формуле (12.29)
u(x,y) = C2,
поэтому общий интеграл имеет вид
y3x - x2y = C,
где C = C2 - C1.
2. Проинтегрировать уравнение x(x + 2y)dx + (x2 - y2)dy = 0.
В данном случае
P(x,y)=x(x+2y), Q(x,y)=x2-y2,
откуда
Условие (12.30) выполнено, поэтому данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно,
= x 2 + 2 xy, = x 2 - y 2.
Из первого равенства получаем
u (x,y) = (x 2+2 xy) dx или u (x,y) = + x2y + (y).
Дифференцируя по y функцию u (x,y), находим
= x2 + ' (y).
Так как = x2 - y2, то x2 + ' (y) = x2 - y2,
откуда ' (у) = -y2 и (y) = - y 2 dy = - + C 1.
Подставляя найденное выражение для (y)в формулу для u (x,y), получим u(x,y) = + x2y - + C 1 = C 2 или + x2y - = C3.
Таким образом, общий интеграл можно записать в виде
x 3 + 3 x2y - y3 = C, где C = 3 C3.
Найти общие интегралы дифференциальных уравнений, предварительно преобразовав их левые части:
12.35.
12.37.
12.36.
12.38.
Показать, что данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах, и найти их общие интегралы:
12.39.
12.40.
12.41.
12.7. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.