2015-03-22
840
ВОПРОСЫ
1. Множество вещественных чисел.
2. Функция. Область ее определения. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
3. Сложные и обратные функции, их графики. Класс элементарных функций.
4. Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах.
5. Предел числовой последовательности.
6. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Пределы монотонных функций. Числовые последовательности.
7. Предел числовой последовательности. Критерий Коши. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенствах.
8. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
9. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Непрерывность сложной и обратной функций.
10. Непрерывность элементарных функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций. Эквивалентные функции.
|
|
|
11. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения. Теорема об обратной функции.
12. Производная функции, ее механический и геометрический смысл. Правила нахождения производной. Основные свойства.
13. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
14. Дифференциал функции. Инвариантность формы полного дифференциала. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.
15. Производная и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя.
16. Условия монотонности функции.
17. Экстремум функций, необходимое условие. Достаточные функции. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.
18. Асимптоты функций. Общая схема исследования функции и построения графика. Вектор – функция скалярного аргумента.
19. Понятие кривой, гладкая кривая. Касательная к кривой. Кривизна кривой. Радиус кривизны. Главная нормаль. Бинормаль. Кручение кривой.
20. Комплексные числа, основные понятия. Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами.
21. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции нескольких переменных и непрерывность.
22. Частные производные от функций нескольких переменных. Полный дифференциал, его связь с частными производными.
|
|
|
23. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
24. Частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных высших порядков. Формула Тейлора.
25. Неявные функции. Дифференцирование неявных функций. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия существование экстремума. Вектор – функции.
26. Производная вектор – функции. Сопровождающий трехгранник. Кручение кривой. Уравнения поверхностей. Геометрия поверхностей. Понятие топологического пространства. Основные характеристики.
27. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица интегралов. Интегрирование по частям. Интегрирование квадратного трехчлена. Интегрирование рациональных дробей.
28. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. Обзор методов интегрирования.
29. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его основные свойства, геометрический смысл. Формула Ньютона- Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Замена переменной в определенном интеграле.
30. Методы вычислений определенных интегралов. Несобственные интегралы с бесконечными пределами, их свойства. Несобственные интегралы от ограниченных функций, их свойства.
31. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел вращения.
32. Приложения определенного интеграла к вычислению длины дуги.
33. Задачи, приводящие к понятию кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Двойной и тройной интегралы, их свойства.
34. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их свойства, примеры вычисления.
35. Скалярное поле. Градиент скалярного поля. Векторное поле. Дивергенция, ротор, поток и циркуляция векторного поля.
36. Задачи численного интерполирования. Многочлены Лагранжа и Ньютона. Численное интегрирование дифференциальных уравнений методом Эйлера.
37. Вычисление определенных интегралов методом трапеций и парабол. Итерационные методы решения функциональных уравнений. Построение многочлена наилучшего приближения.
38. Задание метрического пространства. Определение нормированного пространства. Связь нормированности и метричности. Фундаментальные последовательности.
39. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Действия с рядами. Достаточные условия сходимости знакоположительных числовых рядов.
40. Методы исследования сходимости знакочередующихся рядов. Функциональные ряды. Область сходимости, методы ее определения. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. Ряды Фурье.
41. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частные решения дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
42. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Приложения дифференциальных уравнений первого порядка в различных областях науки. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.
43. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижения порядка. Линейные уравнения, однородные и неоднородные. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, их приложения. Численное интегрирование дифференциальных уравнений.
44. Комплексные числа. Определение функции комплексного переменного. Дифференцируемость и аналитичность функции комплексного переменного. Условия Коши- Римана.
|
|
|
45. Гармонические и аналитические функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции. Интегрирование по комплексной переменной. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Формулы для производных. Ряды с комплексными элементами.
Задача 1. Вычислить:
1.1. 
;
1.2. 
;
1.3. 
;
1.4. 
;
1.5. 
;
1.6. 
;
1.7. 
;
1.8. 
;
1.9. 
;
1.10. 
.
Задача №2. Решить уравнения:
2.1. 
;
2.2. 
;
2.3. 
;
2.4. 
;
2.5. 
;
2.6. 
;
2.7. 
;
2.8. 
;
2.9. 
:
2.10. 
.
Задача №3. Вычислить пределы.
1. а) 
б) 
в) 
г) 
2. а) 
б) 
в) 
г) 
3. а) 
б) 
в) 
г) 
4. а) 
б) 
в) 
г) 
5. а) 
б) 
в) 
г) 
6. а) 
б) 
в) 
г) 
7. а) 
б) 
в) 
г) 
8. а) 
б) 
в) 
г) 
9. а) 
б) 
в) 
г) 
10. а) 
б) 
в) 
г) 
Задача №4. Найти производные функций
- а)
б) 
в) 
г) 
2. а) 
б) 
в) 
г) 
- а)
б) 
в) 
г) 
4. а) 
б) 
в) 
г) 
5. а) 
б) 
в) 
г) 
6. а) 
б) 
в) 
г) 
7. а) 
б) 
в) 
г) 
8. а) 
б) 
в) 
г) 
9. а) 
б) 
в) 
г) 
10. а) 
б) 
в) 
г) 
Задача №5. Определить области существования следующих функций и полный дифференциал первого порядка:
Задача №6. Исследовать на экстремум следующие функции
нескольких переменных:
Задача 7. Определить наибольшие и наименьшие значения
следующих функций в указанных областях:
Задача №8. Найти интегралы:
1. а) 
; 
2. 
; б) 
3. 
; б) 
4. 
; б) 
5. 
; б) 
6. 
; б) 
7. 
; б) 
8. 
; б) 
9. 
; б) 
10. 
; б) 
Задача №9. Найти интегралы:
1. а) 
; б) 
2.а) 
; б) 
3. а) 
; б) 
4.а) 
; б) 
5. а) 
; б) 
6.а) 
; б) 
7. а) 
8. 
; б) 
9.а) 
; б) 
10.а) 
; б) 
