Пересечение двух плоскостей

Построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью сводится к построе­нию второй проекции точки на эпюре, так как одна проекция точки всегда лежит на следе проецирующей плоскости, потому что все, что находится в проецирующей плоскости, проецируется на один из следов плоскости. На рис. 224, а показано построение точки пересе­чения прямой EF с фронтально-проецирующей плоскостью треугольника ABC (перпендику­лярной плоскости V) На плоскость V тре­угольник ABC проецируется в отрезок а'с' пря­мой линии, и точка к' будет также лежать на этой прямой и находиться в точке пересечения e'f с а'с'. Горизонтальную проекцию строят с помощью линии проекционной связи. Види­мость прямой относительно плоскости тре­угольника АВС определяют по взаимному рас­положению проекций треугольника ABC и пря­мой EF на плоскости V. Направление взгляда на рис. 224, а указано стрелкой. Тот участок прямой, фронтальная проекция которого нахо­дится выше проекции треугольника, будет ви­димым. Левее точки к' проекция прямой нахо­дится над проекцией треугольника, следова­тельно, на плоскости Н этот участок види­мый.

На рис. 224, б прямая EF пересекает гори­зонтальную плоскость Р. Фронтальная проек­ция к' точки К — точки пересечения прямой EF с плоскостью Р — будет находиться в точке пересечения проекции е' f 'со следом плоскости P_v, так как горизонтальная плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью. Гори­зонтальную проекцию k точки К находят с по­мощью линии проекционной связи.

Построение линии пересечения двух пло­скостей сводится к нахождению двух точек, общих для этих двух плоскостей. Для построе­ния линии пересечения этого достаточно, так как линия пересечения — прямая, а прямая задается двумя точками. При пересечении проецирующей плоскости с плоскостью общего положения одна из проекций линии пересече­ния совпадает со следом плоскости, находя­щимся в той плоскости проекций, к которой перпендикулярна проецирующая плоскость. На рис. 225, а фронтальная проекция т'п' линии пересечения MN совпадает со следом P_v фрон­тально-проецирующей плоскости Р, а на рис. 225, б горизонтальная проекция kl совпа­дает со следом горизонтально-проецирующей плоскости R. Другие проекции линии пересе­чения строятся с помощью линий проекцион­ной связи.

Построение точки пересечения прямой с пло­скостью общего положения (рис. 226, а) вы­полняют с помощью вспомогательной проеци­рующей плоскости R, которую проводят через данную прямую EF. Строят линию пересечения 12 вспомогательной плоскости R. с заданной плоскостью треугольника ABC, получают в плоскости R две прямые: EF — заданная пря­мая и 12 — построенная линия пересечения, которые пересекаются в точке K.

Нахождение проекций точки К показано на рис. 226, б. Построения выполняют в следую­щей последовательности.

Через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R. Ее след Rн совпадает с горизонтальной проекцией ef прямой EF.

Строят фронтальную проекцию 1׳2' линии пересечения 12 плоскости R с заданной пло­скостью треугольника ABC с помощью линий проекционной связи, так как горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с горизонтальным следом R_H пло­скости R.

Определяют фронтальную проекцию к' иско­мой точки К, которая находится в пересечении фронтальной проекции данной прямой с проек­цией 1'2' линии пересечения. Горизонтальная проекция точки строится с помощью линии проекционной связи.

Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяется способом кон­курирующих точек. Для определения види­мости прямой на фронтальной плоскости про­екций (рис. 226, б) сравним координаты Y точек 3 и 4, фронтальные проекции которых совпадают. Координата Y точки 3, лежащей на прямой ВС, меньше координаты Y точки 4, лежащей на прямой EF. Следовательно, точка 4 находится ближе к наблюдателю (направле­ние взгляда указано стрелкой) и проекция прямой изображается на плоскости V видимой. Прямая проходит перед треугольником. Левее точки К׳ прямая закрыта плоскостью треугольника ABC. Видимость на горизонтальной плоскости проекций показывают, сравнив координаты Z точек 1 и 5. Так как Z₁ > Z₅, точка 1 видимая. Следова­тельно, правее точки 1 (до точки К) прямая EF невидимая.

Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения применяют вспо­могательные секущие плоскости. Это показано на рис. 227, а. Одна плоскость задана тре­угольником ABC, другая — параллельными прямыми EF и MN. Заданные плоскости (рис. 227, а) пересекают третьей вспомогатель­ной плоскостью. Для простоты построений в качестве вспомогательных плоскостей берут горизонтальные или фронтальные плоскости. В данном случае вспомогательная плоскость R является горизонтальной плоскостью. Она пе­ресекает заданные плоскости по прямым лини­ям 12 и 34, которые в пересечении дают точ­ку К, принадлежащую всем трем плоскостям, а следовательно, и двум заданным, т. е. лежа­щую на линии пересечения заданных плоскос­тей. Вторую точку находят с помощью второй вспомогательной плоскости Q. Найденные две точки К и L определяют линию пересечения двух плоскостей.

На рис. 227, б вспомогательная плоскость R задана фронтальным следом. Фронтальные проекции линий пересечения 1'2' и 3'4' пло­скости R с заданными плоскостями совпадают с фронтальным следом R_v плоскости R, так как плоскость R перпендикулярна плоскости V, и все, что в ней находится (в том числе и ли­нии пересечения) проецируется на ее фрон­тальный след R_v. Горизонтальные проекции этих линий построены с помощью линий про­екционной связи, проведенных от фронтальных проекций точек 1', 2', 3', 4' до пересечения с горизонтальными проекциями соответствую­щих прямых в точках 1, 2, 3, 4. Построенные горизонтальные проекции линий пересечения продлевают до пересечения друг с другом в точке k, которая является горизонтальной проекцией точки K, принадлежащей линии пе­ресечения двух плоскостей. Фронтальная проек­ция этой точки находится на следе R_v.

Для построения второй точки, принадлежа­щей линии пересечения, проводят вторую вспо­могательную плоскость Q. Для удобства по­строений плоскость Q проведена через точку С параллельно плоскости R. Тогда для построе­ния горизонтальных проекций линий пересече­ния плоскости Q с плоскостью треугольника AВС и с плоскостью, заданной параллельными прямыми, достаточно найти две точки: с и 5 и провести через них прямые, параллельные ранее построенным проекциям линий пересече­ния 12 и 34, так как плоскость Q || R. Продол­жив эти прямые до пересечения друг с другом, получают горизонтальную проекцию l точки L, принадлежащей линии пересечения заданных плоскостей. Фронтальная проекция l ' точки L лежит на следе Q_v и строится с помощью ли­нии проекционной связи. Соединив одноимен­ные проекции точек К и L, получают проекции искомой линии пересечения.

Если в одной из пересекающихся плоскостей взять прямую и построить точку пересечения этой прямой с другой плоскостью, то эта точка будет принадлежать линии пересечения этих плоскостей, так как она принадлежи обеим заданным плоскостям. Построй таким что же об разом вторую точку, можно найти линию пере­сечении двух плоскостей, так как для построе­ния прямой достаточно двух точек. На рис. 228 показано такое построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками.

Для данного построения берут одну из сто­рон треугольника и строят точку пересечения той стороны с плоскостью другого треуголь­ника. Сели это не удается, берут другую сто­рону этого же треугольника, затем третью.

Если и это не привело к нахождению искомой точки, строят точки пересечения сторон второго треугольника с первым.

На рис. 228 построена точка пересечения прямой EF с плоскостью треугольника ABC. Для этого через прямую EF проводят вспомо­гательную горизонтально-проецирующую плос­кость S и строят фронтальную проекцию 1׳2' линии пересечения этой плоскости с плоско­стью треугольника ABC. Фронтальная проекция 1׳2' линии-пересечения, пересекаясь с фрон­тальной проекцией с'f' прямой EF дает фрон­тальную проекцию т' точки пересечения М.

Горизонтальную проекцию т точки М нахо­дят с помощью линии проекционной связи. Вторая точка, принадлежащая линии пересече­ния плоскостей заданных треугольников, точка N - точка пересечения прямой ВС с плоскостью треугольника DEF. Через прямую BС проводят фронтально-проецирующую плос­кость R, и на плоскости H пересечение гори­зонтальных проекций прямой ВС и линии пере­сечения 34 дает точку n горизонтальную проекцию искомой точки. Фронтальная проек­ция построена с помощью линии проекционной связи. Видимые участки заданных треугольни­ков определяют с помощью конкурирующих точек для каждой плоскости проекций отдель­но. Для этого выбирают точку на одной из плоскостей проекций, которая является проек­цией двух конкурирующих точек. По вторым проекциям этих точек определяют видимость, сравнивая их координаты.

Например, точки 5 и - точки пересечения горизонтальных проекций bс и de. На фрон­тальной плоскости проекций проекции этих точек не совпадают. Сравнив их координа­ты Z, выясняют, что точка 5 закрывает точку 6, так как координата /_г, больше координаты Z₅. Следовательно, левее точки 5 сторона DE не­видимая.

Видимость на фронтальной плоскости проек­ций определяют с помощью конкурирующих точек 4 и 7, принадлежащих отрезкам DE и ВС, сравнивая их координаты Y₄ и Y₇. Так как Y₄ > Y₇ сторона DE на плоскости V видимая.

Следует отметить, что при построении точки пересечения прямой с плоскостью треугольни­ка точка пересечения может оказаться за пре­делами плоскости треугольника. В этом слу­чае, соединив полученные точки, принадлежа­щие линии пересечения, обводят только тот ее участок, который принадлежит обоим тре­угольникам.