2015-03-22
1281
Логические основы цифровых устройств
Введение
Математический аппарат, описывающий действия дискретных устройств, базируется на алгебре логики, автором которой считается английский математик Дж. Буль (1815 – 1864г.). В практических целях первым применил его американский ученый К. Шеннон в 1938 г. при исследовании электрических цепей с контактными выключателями.
Булева алгебра оперирует двоичными переменными (logic values), которые условно обозначают, как 0 и 1 и называют двоичной цифрой (binary digit) или битом (bit). В ее основе лежит понятие переключательной, или булевой функции вида
f (xn - 1, xn -2 … x 1, х 0) относительно аргументов xn -1, x n -2 … x 1, х 0, которая также может принимать лишь два значения – 0 и 1. Логическая функция может быть задана словесно, алгебраическим выражением, и таблицей, которая называется таблицей истинности (truth table). Аналитический способ предусматривает запись функции в форме логического выражения, показывающего, какие логические операции над аргументами функции должны выполняться и в какой последовательности. Сложные функции от многих аргументов (переменных) могут быть представлены в форме функций от функций, последние из которых выражаются через меньшее число аргументов. Следует отметить, что для обозначения аргументов используются наиболее популярные знаки латинского греческого и русского алфавитов.
В булевой алгебре различают положительную и отрицательную логику. В положительной логике (positive logic) логической единице (лог. 1) соответствует «высокий уровень» напряжения – H (H – High), логическому нулю (лог. 0) – «низкий уровень» – L (L – Low). Отрицательная логика (negative logic используется не часто и в ней, естественно, противоположные соответствия логических уровней: 1 – низкий уровень, 0 –высокий уровень.
При табличном задании функции (state table) в строках таблицы записываются возможные двоичные значения аргументов xn -1, x n -2 … x 1, х 0 и указываются значения функции f (xn -1 – х 0), которые она принимает на данном наборе (лог. 0 или лог. 1). При числе аргументов n максимальное число различных состояний в таблице 2 n.
Простейшие логические операции
В алгебре логики имеется три простейшие логические операции: отрицание (инверсия, операция НЕ), логическое сложение (дизъюнкция, операция ИЛИ), логическое умножение (конъюнкция, операция И). Эти операции выполняются на логических схемах, именуемых «логическими вентилями».
В этой главе мы узнаем как переходить от таблицы истинности к логической схеме (задача синтеза) и от схемы к логического выражению.
