Функции нескольких переменных

Определение 3.1. Если существует предел отношения частного приращения функции в точке к соответствующему приращению аргумента при то этот предел называется частной производной функции в точке по аргументу :

Для частных производных общеприняты следующие обозначения:

Из определения следует простой практический метод отыскания частных производных: когда мы вычисляем производную функции по какой-нибудь одной переменной, то все остальные при этом считаем константами. Что касается правил вычисления, то они не отличаются от таковых для функций одной переменной.

Определение 3.2. Дифференциалом дифференцируемой в точке функции называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения функции в точке . Если все коэффициенты в представлении приращения дифференцируемой функции равны нулю, то дифференциал функции в точке М считается равным нулю.

Таким образом, дифференциалом дифференцируемой в точке функции называется выражение

или

Пусть частная производная по аргументу функции , определенной в области существует в каждой точке области. В этом случае указанная частная производная представляет собой функцию переменных также определенную в области . Если эта функция имеет частную производную по аргументу в некоторой точке области , то ее называют второй частной производной, или частной производной второго порядка функции в точке сначала по аргументу а затем по аргументу и обозначают одним из следующих символов:

При этом если то частную производную называют смешанной частной производной второго порядка. Аналогично понятию второй частной производной, можно последовательно ввести понятие третьей частной производной, затем четвертой и т. д.

Так как частная производная функции по аргументу определяется как обыкновенная производная функции одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных, то методика вычисления частных производных высших порядков предполагает умение вычислять только обыкновенные производные первого порядка.

Принцип, по которому мы находили частные производные высших порядков, мы можем применить к нахождению дифференциалов высших порядков:

Для независимых переменных справедливы следующие формулы:

В общем случае удобна операторная запись для дифференциала -го порядка

Это выражение также справедливо только в случае независимых переменных.

Приближенные вычисления. Если функция дифференцируема в точке , то можно приближенно заменить приращение функции в этой точке ее дифференциалом . Тогда

Если в этой формуле положить , то получим формулу для приближенных вычислений

Пример 3.1. Найти частные производные функции

.

Решение. Найдем частную производную вначале по переменной , считая другую переменную константой:

.

Затем продифференцируем функцию по другой переменной, а будем считать константой:

.

Пример 3.2. Найти частные производные функции трех переменных

.

Решение. Используя тот же принцип, что и в предыдущем примере, найдем последовательно все частные производные:

;

; .

Пример 3.3. Найти полный дифференциал функции в точке .

Решение. Найдем частные производные заданной функции:

,

.

Полный дифференциал функции .

Тогда

.

Значение дифференциала в точке равно .

Пример 3.4. Дана функция . Проверить, является ли она решением уравнения .

Решение. Найдем последовательно частные производные первого и второго порядка:

;

.

После подстановки этих производных в уравнение получим

,

т. е. является решением уравнения.

Пример 3.5. Дана функция . Показать, что

.

Решение. Найдем частные производные первого и второго порядка заданной функции:

;

; ; .

Подставим найденные производные в выражение для :

что и требовалось показать.

Пример 3.6. Найти дифференциал второго порядка функции .

Решение. Дифференциал второго порядка определим с помощью формулы

.

Воспользуемся полученными в примере 3.5 производными второго порядка.

Тогда

,

или

.

Пример 3.7. Вычислить приближенно .

Решение. Положим

Тогда . Вычислим частные производные функции в точке с координатами :

.

Подставив полученные данные в формулу приближенных вычислений, получим, что

.

3.1. Найти и , если . Является ли эта функция дифференцируемой в точке ?

Найти частные производные первого и второго порядка от следующих функций:

3.2. .	3.3. .
3.4. .	3.5. .
3.6. .	3.7. .

3.8. Проверить равенство , если:

а) ;

б) .

3.9. Пусть

Показать, что .

3.10. Пусть – дважды дифференцируемая однородная функция измерения . Доказать, что

.

Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:

3.11. .	3.12. .
3.13. .

Заменив приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить:

3.14. а) ;	б) ;
в) .

Найти частные производные:

3.15. если

.

3.16. если .

3.17. если .

Найти дифференциалы указанного порядка:

3.18. , если .

3.19. , если .

3.20. Пусть . Найти , если:

а) ;

б) .

Ответы: 3.1. , . Функция недифференцируема в точке. 3.14. а) 108,972, б) 2,95б в) 0,502. 3.15. , . 3.16. . 3.17. .

3.18. . 3.19. .

3.20. а) , б) .