2014-02-02
595
Тема 1.1 Дифференциальное исчисление.
Лекция №2.
План:
1. Изучение производной при исследовании функций и построения графиков. Определение функции нескольких переменных.
2.Частные функции.
Понятие функции является центральным для высшей математики.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Переменная величина у называется функцией от переменной величины х, если каждому допустимому значению х соответствует одно или несколько вполне определенных значений у.
Переменная х называется аргументом, либо независимой переменной. Величину у иногда называют зависимой переменной.
Обозначение: у = у(х).
Для построения графика функции необходимо выявить следующие характерные детали.
1. Если возможно, выполнить преобразования с целью упрощения вида функции.
2. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ функции. Выявляется множество значений аргумента х, при которых функция существует.
3. Проверка на четность и нечетность. Если функция четна или нечетна, ее исследование можно ограничить областью положительных значений аргумента, то есть х ≥ 0. НАПОМНИМ: функция является четной, если выполняется равенство: у(-х) = у(х).
Для нечетной функции справедливо условие: у(-х) = -у(х).
4. Проверка на ПЕРИОДИЧНОСТЬ. Исследование периодической функции можно ограничить одним периодом, то есть хЄ[0; T].
НАПОМНИМ: функция называется периодической, если существует такая фиксированная величина Т, для которой при любых значениях аргумента выполняется равенство: у(х + Т) = у(х).
5. Проверка на наличие АСИМПТОТ.
Асимптотой графика функции у = у(х) называют прямую, обладающую тем свойством, что расстояние от точки (х; у(х)) до этой прямой стремиться к нулю при движении этой точки вдоль ветви к бесконечности.
Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные (в частности, горизонтальные).
Прямая, задаваемая уравнением х = а, - вертикальная асимптота, если хотя бы один из пределов ℓim у(х), ℓim у(х),
х→а х→а+0
ℓim у(х) равен +∞ (или - ∞).
х→а-0
Причем в точке имеет место разрыв графика функции.
Функция может иметь любое число вертикальных асимптот.
|
(1) к = ℓim,, в = ℓim [у(х) – кх] при
х, стремящегося к +∞ (или к -∞).
Число наклонных асимптот может быть не более двух: одна для
х → +∞ и одна для х → -∞.
6. Отыскание КОРНЕЙ функции и областей с постоянным ЗНАКОМ.
7. Выявление ЭКСТРЕМУМОВ и ОБЛАСТЕЙ МОНОТОННОГО изменения функции.
Необходимо вычислить производные у' и у''.
Если у' <0, то функция убывает, при у' >0 возрастает.
Если у' = 0, то точка является подозрительной на ЭКСТРЕМУМ. В этом случае при у'' > 0 здесь находится МИНИМУМ, а при у'' < 0 – МАКСИМУМ. Если же в точке одновременно у' = 0 и у'' = 0, то необходимо исследовать поведение первой производной слева и справа от этой точки, см. таблицу 1.
|
| у' (х) | + | – | 
 0
| ||
| характеристика функции |  
|
  экстремум?
|
→ а) у' (х – 0) < 0, у' (х + 0) > 0: min
б) у' (х – 0) > 0, у' (х + 0) > 0: max
в) у' (х – 0) и у' (х + 0) – знак не меняют → перегиб.
8. Выявление областей ВЫПУКЛОСТИ и ВОГНУТОСТИ и точек ПЕРЕГИБА производится из анализа второй производной. см. таблицу 2.
9.
Таблица 2. Анализ по второй производной.
| у'' | + | – | |
| характеристика функции | 
| 
| перегиб? |
Если у'' > 0 в какой-то области значений аргумента, то в этой области график функции вогнутый, т.е. имеет выпуклость, направленную вниз.
В той области, где у'' < 0, график имеет выпуклость вверх.
В точках с нулевой второй производной, у'' = 0, график может претерпевать перегиб, т.е. изменять направление выпуклости; в таком случае необходимо исследовать поведение у'' слева и справа от точки, подозрительной на перегиб.
9. Все исследованные точки сводятся в ТАБЛИЦУ ХАРАКТЕРНЫХ ТОЧЕК, в которой указываются значения х, у, у', у'' и дается краткая характеристика поведения графика функции. Таблицу можно дополнить еще несколькими точками, отличающимися простотой вычислений.
На этом исследование функции заканчивается. По найденным характерным точкам и асимптотам рисуется график функции.
