Алгебра логики – это раздел математической логики, значение всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.
Высказывание – это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, то есть каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным и ложным. Высказывания:
q «Сейчас идет снег» – это утверждение может быть истинным или ложным;
q «Москва – столица России» – истинное утверждение;
q «Частное от деления 10 на 2 равно 3» – ложное утверждение.
В алгебре логики все высказывания обозначают буквами а, b, с и т. д. Содержание высказываний учитывается только при введении их буквенных обозначений и в дальнейшем над ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй. Причем если над исходными элементами алгебры выполнены некоторые разрешенные в алгебре логики операции, то результаты операций также будут элементами этой алгебры.
|
|
Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения (операция дизъюнкции, ИЛИ)и логического умножения (операция конъюнкции, И). Для обозначения операции логического сложения используют символы + или , а логического умножения – символы · или . Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий. В частности, для алгебры логики выполняются следующие законы.
1. Сочетательный:
(а + b) + с = а + (b + с),
(a ·b) ·c = a· (b·c).
2. Переместительный:
(a + b) = (b + a),
(a · b) = (a ·b).
3. Распределительный:
a · (b + c)= a·b +а·c,
a + b·c = (a + b) · (a + c).
Справедливы соотношения, в частности:
a + a = a | 0 · a = 0 | 0 + a = a |
a · a = a | 1 · a = a | 1 + a = 1 |
Наименьшим элементом алгебры логики является 0, наибольшим элементом – 1. В алгебре логики также вводится еще одна операция – отрицания (операция НЕ, инверсия), обозначаемая чертой над элементом.
По определению:
Справедливы, например, такие соотношения:
Функция в алгебре логики – алгебраическое выражение, содержащее элементы алгебры логики а, b, с, связанные между собой операциями, определенными в этой алгебре.
Примеры логических функций:
Согласно теоремам разложения функций на конституанты (составляющие), любая функция может быть разложена на конституанты:
(3)
и т. д. Эти соотношения используются для синтеза логических функций и вычислительных схем.