Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших

Для представления рациональной дроби в виде суммы простейших дробей используется метод неопределенных коэффициентов. Любую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей четырёх типов по следующему алгоритму:

1) Разлагаем знаменатель правильной рациональной дроби на множители степени не выше второй (Причём вторую степень можно оставлять лишь в том случае, когда нет действительных корней в множителе знаменателя, то есть D<0).

2) В числителе ставим просто буквы А, В, С, … - если корни действительные и выражения вида Мх+N, Сх+D, … - если корни мнимые.

3) Если корни кратные, то слагаемых будет столько, какова кратность корня, причем степени знаменателя понижаются на единицу, начиная с высшего показателя до первого.

4) Неизвестные коэффициенты А, В, С, М,... находят методом неопределённых коэффициентов.

Например, представим дроби в виде суммы простейших, не находя коэффициентов.

а)

;

б)

.

Рассмотрим пример представления правильной рациональной дроби в виде суммы простейших.

Найдём A, M, N, P, Q методом неопределённых коэффициентов.

Дроби равны и знаменатели равны, следовательно, числители дробей тоже равны. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменного.

Если знаменатель имеет только действительные корни, то можно пользоваться другим приёмом: в полученном тождестве придавать переменному значения равные корням знаменателя.

Например:

;

;

При имеем ;

Следовательно, .

Иногда пользуются обеими методами сразу.