Для практических расчетов разработаны разного рода схематизации задачи в виде частных моделей распространения неконсервативных примесей, солей и температуры. В основу решения этих моделей положены одномерные уравнения движения и неразрывности с применением операции осреднения по поперечным сечениям потока, к которым добавляются однотипные уравнения переноса тепла, кислорода и других субстанций. При решении задачи переноса основное внимание уделяется определению значений входящих в уравнения переноса коэффициентов диффузии. В частности, коэффициентов тепло - и температуропроводности или консервативности примеси. Вопрос определения этих коэффициентов затрудняется необходимостью исследования гидродинамики, например, требуется определение коэффициента турбулентной диффузии О.Ф. Васильев (1965, 1976) отмечает, что на достаточно большом расстоянии от места сброса тепла роль продольной дисперсии становится пренебрежительно малой, вследствие чего температура воды или концентрация примеси на этом расстоянии определяется главным образом адвективным переносом. Аналогичные выводы делал Д. Харлеман (1972) и др. Обычно принимается, что переносимое течением тепло не влияет существенным образом на плотность воды. Тогда в динамическом уравнении изменение плотности по длине водотока принимается равным нулю (так называемое баротропное приближение). В этом случае уравнения Сен-Веннана решаются независимо от остальных, и затем полученные результаты используются для решения уравнения переноса тепла. С помощью такого решения можно предсказывать распределение температуры воды вдоль водотока, основываясь на данных о поступавшем водном и тепловом стоке в верхнем створе водотока и теплообмена с окружающей средой.
|
|
Пусть имеется информация о среднем установившемся уровне водоема и его ширине при отсутствии паводка. Для верхнего створа исследуемого объекта этот уровень можно принять за начало координат. Введем ось X, направленную вдоль оси водотока, ось Z направим вниз, а ось Y направим перпендикулярно плоскости XOZ c началом на оси водотока.
Рис.1. Принятая система координат.
Рассмотрим уравнение теплопроводности в заданных координатах в виде
(8)
Это уравнение получено в предложении, что перенос тепла в продольном направлении Х происходит, главным образом за счет течений,
(9)
а перенос тепла в вертикальном Z и поперечном Y направлении за счет турбулентной диффузии
(10)
(11)
Указание допущения в некоторой степени искажают истинную картину процесса теплопередачи, но в целом позволяют оценить основные физические закономерности. Например, первое допущение позволяет пренебречь турбулентным тепловым потоком в продольном направлении. Этот вопрос специально рассмотрен А.П. Пеховичем (1972). Второе допущение подтверждается анализом большого числа натурных наблюдений и является общепринятым. Третье допущение позволяет в некоторой степени учесть теплоперенос в поперечном направлении, которым обычно вовсе пренебрегают.
|
|
Представление поперечных теплопотоков в виде правой части уравнения (8) является достаточно формальным. Коэффициенты и имеют смысл некоторых эффективных коэффициентов теплопроводности, хотя с физической точки зрения ничего общего с коэффициентами теплопроводности они не имеют. Однако с их помощью записывается общепринятая гипотеза о пропорциональности потока тепла градиенту температуры:
(12)
В реальных условиях тепловой поток обусловлен не только градиентом температуры, но и множеством других факторов, подчас вообще не поддающихся учету. Естественно, что в этих условиях величины и являются весьма изменчивыми в зависимости от гидротермических условий потока.
Важным требованием к моделям естественных процессов является изменяемость всех входящих в них параметров. Величины и непосредственному измерению не подлежат. Измеряемыми являются профили температуры и величины теплопотоков. Преобразуем уравнение (8) таким образом, чтобы оно содержало лишь поддающиеся измерению величины теплопотоков на контурах, огранивающих водоток, для этого проинтегрируем его по сечению потока с учетом зависимости границ сечения от координаты X и времени . Результат интегрирования можно представить в следующем виде
(13)
где: - средняя по поперечному сечению температура воды; - средние температуры поверхности и дна; и - температура на правом и левом берегу; ; - превышения уровня воды над равновесным; невозмущенная глубина потока (рис.2); - полуширина потока (ось направлена вдоль осевой линии потока); - величины удельных теплопотоков через горизонтальную, нижнюю, боковые поверхности водотока; - средняя скорость потока на сечении вдоль оси Х; - время; - удельная теплоемкость воды; - плотность воды. Величины и принимаются постоянными.
Рис.2
Уравнение (13) получено с помощью гипотезы (12). В это уравнение входят лишь величины, поддавшиеся непосредственному измерению (), либо величины, значения которые могут быть вычислены с помощью надежных эмпирических формул ().
В большинстве случаев исследователя интересует главным образом, пространственно-временная изменчивость среднего по сечению теплосодержания водотока и температура его поверхности . Поэтому, несмотря на то, что уравнение (13) является менее информативным по сравнению с уравнением (8), его точность является достаточной для практических расчетов. В методическом плане оно выгодно отличается (6) отсутствием не поддающихся определению величин и . Кроме того уравнение (13) является одномерным, что делает его легко интегрируемым.
Для замыкания уравнения (13) необходимо параметризировать профиль температуры по координате и . Запишем эту параметризацию в общем виде:
(14)
Вид функций (14) может быть определен либо из непосредственных наблюдений, либо продиктован соображениями здравого смысла. Например, при простейшей параметризации вида
(15)
уравнение (13) принимает вид
(16)
Уравнение (16) необходимо дополнить краевыми условиями. Начальное условие задаем в виде
(17)
Выбор граничных условий для уравнения гиперболического типа определяется типом течения. Если для всех , где - длина участка интегрирования, то достаточно задать условие, лишь на верхнем створе:
(18)
Если на нижнем створе имеет место инверсия потока , что может наблюдаться при прохождении нагонных волн, необходимо задать также условие на нижнем створе:
|
|
(19)
Система уравнений (13), (14), (17) - (19) является замкнутой. Такой подход может быть использован в системе уравнений движения и неразрывности или отдельно, когда известны значения V и . Кроме того, при достаточно малой скорости V или при её отсутствии уравнение (13) позволяет рассчитать термический режим водоема с учетом колебания уровня относительно некоторой глубины по заданным .
Уравнение (13) является нелинейным благодаря нелинейной зависимости его правой части от температуры. Его решение возможно только численным методом.