Лекция 8. Тема:Составление дифференциальных уравнений семейства кривых

Тема:Составление дифференциальных уравнений семейства кривых.

Уравнения с раздельными и разделяющимся переменными.Однородные уравнения. Дифференциальныех уравнения, приводимые к однородным.

Составление дифференциальных уравнений семейства кривых.

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства

φ(х, у, с_1, с_{2, ….,} с_n)=0 (8.1)

Надо продифференцировать равенство (8.1) n раз, считая и функцией от х, а затем из полученных уравнений и уравнения (8.1) исключить произвольные постоянные с_1, с_2, ….с_n.

Пример 8.1: Составить дифференциальное уравнение семейства кривых

с₁х+(у-с₂)²=0 (8.2)

так как уравнение семейства содержит 2 параметра, дифференцируем его 2 раза, считая у = у(х)

с₁=2(у- с₂) у^, (х)=0 (8.3)

2у^,2 =2(у-с₂)у^,, (х)=0 (8.4)

Исключим С₁. Из уравнения (8.3) имеем С₁ =-2(у- с₂)у^,, подставляя это в (8.2), получим

-2ху^,(у-с₂)+(у-с₂)²=0 (8.5)

Исключим С₂. Из уравнения (8.4) имеем у-с₂=у^,2/у^,,, подставляя это в (8.5), получим после упрощения дифференциальное уравнение у^,+2ху^,,=0